函数最值几种求法.doc

PAGE PAGE 1 函数最值的几种求法 新课程标准中,高中数学知识更加丰富,层次性更强,和高等教育的结合更加紧密.要想较好的完成新课标的教学任务,必须从整体上把握课程标准,运用主线知识将高中数学知识穿成串,连成片,织成网,才有利于学生更好的掌握,而函数的最值问题在整个高中教材中显得非常重要,为了能系统的学好这方面的知识,本文总结归纳出八种求函数最值的常见方法. 一 由定义域直接求函数的最值 一次函数的最大值与最小值常与它的定义域与值域有关系,即若y是x的函数,则由x的取值范围,并且根据一次函数的单调性,就能得到y的最大(小)值. 例1 变量,,均不小于0,并满足及,求函数的最大值与最小值. 解 由及得, 及. 又由,,均不小于0,推出. 再将与代入得, , 它是单调递增函数,而.所以,当时,有最小值;当时,有最大值. 二 用配方法求函数的最值[1] 对于二次函数可以用配方法讨论它的最值情况,即二次函数.当时,有最小值,即当时,;当时,有最大值,即当时,. 例2 设.求和. 解 由得,. 又因 , 所以 当时,有最小值; 当时,有最大值. 例3 设在区间上最小值为,求的最大值. 解 对关于配方得, . 由已知得,当时,;当时,;当时,.因此,当时,的最大值为;当时,,且的最大值为;当时,的最大值为. 三 用判别式法（也称△法）求最值 判别式法就是利用二次方程有实数根的充要条件来求出函数的最值.除了二次函数,对于一些常见的含有根号的无理函数,也可以利用平方法去掉根号后再根据二次函数的△法来求最值,或如果一个问题中,诸量之间的关系最后可化为以某一变量为元的二次方程的形式,便可运用判别式来求最,但要注意函数的定义域对函数的制约作用. 例4[2] 求函数的最值, 以及函数取最值时的取值. 解 显然. 等式两边平方有 , 移项再平方整理得 , 又由 , 得 , 又因为 并且 得 , 所以 . 于是 当时,;当时, 四 换元法 就是通过换元把一个复杂的函数变为简单函数.这种题的特征是函数的解析式中含有根式.当根式为一次式时, 用代数换元（直接换元）;当根式是二次式时,用三角换元. 例5 用换元法求函数的最大值（无最小值）. 解 令,. 所以 . 于是 当,即时,. 例6 用三角换元法求函数的最值. 解 令,则.所以,原函数变为 . 又因为,故,所以,当,即,时, 取得最小值;当,,时,取得最大值. 五 利用不等式求函数的最值 基本不等式:是求函数的最值问题的重要工具.但要注意取得最值的条件“一正, 二定, 三相等”[3].并合理的进行拆分和配凑,灵活变形使得问题简捷从而获解. 例7 求函数的最大值. 解 ,而(注意,)当且仅当,即时,有最小值2.所以,当时,原函数有最大值. 六 利用导数求闭区间上连续函数的最值 利用导数研究函数的性质尤其是函数的最值问题是强有力的手段.连续函数在闭区间上的最大值(或最小值)的求法:(1)求出的所有极值点(驻点和导数不存在的点);(2)计算并比较f(x)在所有极值点及两个端点处的值,其中最大者就是最大值,最小者就是最小值[4]. 例8 求函数在闭区间上的最值. 解 对原函数关于求导数可得, . 令,(舍去).再计算端点和导数为0点（驻点）处的函数值得, ,,,.所以,当时,原函数有最小值,当时,原函数有最大值. 七 数形结合法求函数的最值 当要求的解析式明显具备某种几何意义时,如两点间的距离公式,直线斜率,直线在坐标轴上的截距等等.可以利用数形结合来求它的最值. 例9[5] 求函数的最大值和最小值. 解 因为,现令.则易知表示一定点A（2,0）与单位圆上的动点连线的斜率的大小.如（图1）.对于L1有: ,对于L2有:,所以,当 时,;当时, . （图1） （图2） 例10 例4解法二. 解 令,,则原函数可化为 .此时原问题转化为曲线与直线有公共点时,在轴上截距的最值.如(图2).显然可得,当直线过（,0）点,即时,在轴上的截距取得最小值;当直线与曲线相切,即(因为曲线上任一点切线斜率为,要使直线与曲线相切则 ,即,所以由得,.于是,)时, 在轴上的截距取得最大值. 八 构造向量求函数最值 向量具有代数和几何的双重性.用向量法解决代数问题的关键是善于观察问题的结构,挖掘代数结构的向量模型,构造合适的向量,把原有问题转化为向量问题求解,它是一种重要的数学思维方法. 例11 在上,求函数的最值. 解 令向量,,则|,.令向量与的夹角为,再令,,则.如(图3),向量的终点落在以原点为心,为半径的圆周上,因为的幅角为.故两向量的夹角,所以. 从而