随机变量函数的分布卷积公式过程稿.ppt

4.5.3一般方法 随机向量函数的分布与随机变量函数的求法相同（P126） 概率论 概率论 4.5 随机向量函数的分布 在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论: 当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布? 例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 ,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求 Z=X+Y 的概率函数. 解 =a0br+a1br-1+…+arb0 由独立性 r=0,1,2, … 一、 的分布 解 依题意 例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 于是 i = 0 , 1 , 2 , … j = 0 , 1 , 2 , … 的泊松分布. r = 0 , 1 , … 即Z服从参数为 的泊松分布. 例3 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度. 这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z} 解 Z=X+Y的分布函数是: 它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面. 化成累次积分,得 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,得 变量代换 交换积分次序 由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为: 由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式. 特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为: 下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度. 卷积公式 为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域 例4 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度 求 Z=X+Y 的概率密度 . 解 由卷积公式 也即 暂时固定 故 当 或 时 , 当 时 , 当 时 , 于是 例5 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度. 解 由卷积公式 令 得 可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2). 用类似的方法可以证明: 若X和Y 独立, 结论又如何呢? 此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论. 若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2). 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布. 更一般地, 可以证明: 休息片刻再继续 二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分 布函数分别为FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数. FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z) 由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布函数为: =P(X≤z)P(Y≤z) FM(z) 1. M = max(X,Y) 的分布函数 即有 FM(z)= FX(z)FY(z) 即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)] =1-P(Xz,Yz) FN(z)=P(N≤z) =1-P(Nz) 2. N = min(X,Y) 的分布函数 由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布函数为: =1- P(Xz)P(Yz) FN(z) 设 X1,…,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 我们来求 M=max(X1,…,Xn) 和N=min(X1,…,Xn)的分布函数. (i = 1, …, n) 用与二维时完全类似的方法，可得 N=min(X1,…,Xn)的分布函数是 M=max(X1,…,Xn)的分布函数为: 特别地，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有 例6 设系统 L 由两个相互独立的子系统 连接而成,连接的方式分别为 (i) 串联, (ii)