高等数学方明亮版数学10.1常数项级数的概念与性质.ppt

高等数学多媒体课件 第十章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念和性质 二、收敛级数的基本性质 性质2 设有两个收敛级数 性质4 注意: 3、 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和: 返回 上页 下页 目录 牛顿（Newton） 莱布尼兹（Leibniz） （Infinite Series） 第一节 常数项级数的概念与性质 第二节 常数项级数的审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用 第六节 傅立叶级数 主 要 内 容 第十章 （Conception and property of constant term series） 一、常数项级数的基本概念 二、收敛级数的基本性质 三、小结与思考练习 一、常数项级数的基本概念 定义 给定一个数列 将各项依 即 称上式为无穷级数， 其中第 n 项 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 次相加, 简记为 称为级数的部分和. 则称无穷级数 收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作 当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 则称无穷级数发散 . 显然 例3 讨论等比级数 (又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 从而 因此级数收敛 , 从而 则部分和 因此级数发散 . 其和为 2) 若 因此级数发散 ; 因此 n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, 时, 等比级数收敛 ; 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 不存在 , 因此级数发散. 性质1 若级数 收敛于 S , 则各项 乘以常数 c 所得级数 也收敛 , 证: 令 则 这说明 收敛 , 其和为 c S . 说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 . 即 其和为 c S . 则级数 也收敛, 其和为 证: 令 则 这说明级数 也收敛, 其和为 性质3 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 证: 将级数 的前 k 项去掉, 的部分和为 数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为 类似可证前面加上有限项的情况 . 极限状况相同, 故新旧两级 所得新级数 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 证: 设收敛级数 若按某一规律加括弧, 则新级数的部分和序列 为原级数部分和 序列 的一个子序列, 推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 但 发散. 因此必有 例如， 用反证法可证 例如 证: 可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如, 其一般项为 不趋于0, 因此这个级数发散. 并非级数收敛的充分条件. 例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 . 事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则 但 矛盾! 所以假设不真 . 课本给出了另外两种证法！ 例6 判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数 发散 , 从而原级数发散 . 内容小结 常数项级数的基本概念: 常数项级数、 收敛、发散、等比级数、调和级数 3. 级数收敛的判别方法 2. 收敛级数的5个性质 课外练习 习题10－1 3（偶数题）； 4 思考与练习 答:（1）若二级数都发散 , 不一定发散. 例如, （2） 若两级数中一个收敛一个发散 , 则必发散 . (用反证法可证) 解: (1) 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 2、 判别下列级数的敛散性: (2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 . 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 解: (1) 令 则 故 从而 这说明级数(1) 发散. * * * * 返回 上页 下页 目录