高数导数与微分的计算方法洛比塔法则.PPT

导数与微分 第三讲：导数与微分的计算方法 1 导数与微分的四则运算 2 复合函数的导数和微分 3 隐函数的导数 4 对数求导法 5 参数方程所确定函数的导数 6 n阶导数 1 四则运算（一）和、差、积、商的求导法则 （二）例题分析 （三）小结 2 反函数、复合函数的导数 二、复合函数的求导法则 三、小结 四、初等函数的求导问题 隐函数的导数 对数求导法参数方程所确定函数的导数一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程所确定的函数的导数 五、小结 6 高阶导数 二、 高阶导数求法举例 三、小结 所求切线方程为 例8 解 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 思考题 思考题解答 不对． 定义 记作 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 二阶导数的导数称为三阶导数, 例1 解 由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例2 解 例3 解 注意: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 例4 解 同理可得 例7 解 例8 解 思考题 设 连续，且 ， 求 . 思考题解答 可导 不一定存在 故用定义求 定义 例如, * 定理 推论 例1 解 例2 解 例3 解 同理可得 例4 解 同理可得 例5 解 同理可得 例6 解 注意: 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求. 定理 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例1 解 同理可得 例2 解 特别地 定理 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) 推广 例3 解 例4 解 例5 解 例6 解 例7 解 反函数的求导法则（注意成立条件）; 复合函数的求导法则 （注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）; 已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商. 1.常数和基本初等函数的导数公式 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 ) ( ), ( x v v x u u = = 可导，则 （ 1 ） v u v u ￠ ￠ = ￠ ) ( , （ 2 ） u c cu ￠ = ￠ ) ( （ 3 ） v u v u uv ￠ + ￠ = ￠ ) ( , （ 4 ） ) 0 ( ) ( 2 1 ￠ - ￠ = ￠ v v v u v u v u . ( 是常数) 定义: 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 例1 解 解得 例2 解 所求切线方程为 显然通过原点. 例3 解 观察函数 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. --------对数求导法 适用范围: 例4 解 等式两边取对数得 例5 解 等式两边取对数得 一般地 例如 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 由复合函数及反函数的求导法则得 例6 解 * *