高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法——在立体几何中综合应用.ppt

练习2 * * 空间向量 在立体几何中的应用5 前段时间我们研究了用空间向量求角(包括线线角、线面角和面面角)、求距离(包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离) 今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明及计算问题。 一、 用空间向量处理“平行”问题 R D B C A A1 Q P N M D1 C1 B1 例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是A1B1和BC上的动点，且A1P=BQ，M是AB1的中点，N是PQ的中点. 求证： MN∥平面AC. （１）M是中点，N是中点 MN∥RQ MN∥平面AC D B C A A1 Q P N M D1 C1 B1 法（２）　　　　作PP1⊥AB于P1，作MM1 ⊥AB于M1，连结QP1， 作NN1⊥ QP1于N1，连结M1N1 N1 M1 P1 NN1∥PP1 MM1∥AA1 又NN1、MM1均等于边长的一半 故MM1N1N是平行四边形，故MN∥M1N1 MN∥平面AC D B C A A1 Q P N M D1 C1 B1 z y x o 证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz 设正方形边长为2，又A1P=BQ=2x 则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故N(2-x, 1+x, 1),而M(2, 1, 1) 所以向量 (-x, x, 0)，又平面AC的法向量为 (0, 0, 1)，∴ ∴ 又M不在平面AC 内，所以MN∥平面AC D C B A D1 C1 B1 A1 例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证： 平面A1BD∥平面CB1D1 (1)平行四边形A1BCD1 A1B∥D1C 平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD 于是平面A1BD∥平面CB1D1 D C B A D1 C1 B1 A1 o z y x (2)证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz 设正方形边长为1，则向量 设平面BDA1的法向量为 则有 x+z=0 x+y=0 令x=1,则得方程组的解为 x=1 y=-1 z=-1 故平面BDA1的法向量为 同理可得平面CB1D1的法向量为 则显然有 即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1∥CB1D1 D C B A D1 C1 B1 A1 o z y x D C B A D1 C1 B1 A1 F G H E 例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点. 求证： 平面AEH∥平面BDGF AD∥GF，AD=GF 又EH∥B1D1，GF∥B1D1 EH∥GF 平行四边形ADGE AE∥DG 故得平面AEH∥平面BDGF D C B A D1 C1 B1 A1 H G F E o z y x 略证：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz 则求得平面AEF的法向量为 求得平面BDGH的法向量为 显然有 故 平面AEH∥平面BDGF 二、 用空间向量处理“垂直”问题 二、 用空间向量处理“垂直”问题 ↑ F E X Y Z 例4 练习1 证明: 分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 例6：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=a，CF=2a 。 求证: 面AEF?面ACF。 A F E C1 B1 A1 C B x z y 不防设 a =2，则A（0，0，0），B（?3 ，1，0）C（0，2，0），E（ ?3，1，2） F（0，2，4），AE=（ ?3，1，2）AF=（0，2，4），因为，x轴?面ACF 所以 可取面ACF的法向量为m=（1，0，0），设n=（x,y,z)是面AEF的法向量，则 A F E C1 B1 A1 C B z y x { nAE=?3x+y+2z=0 nAF=2y+4z=0 ?{ x=0 y= -2z ? 令z=1得, n=（0，-2，1） 显然有m n=0，即，m?n 面AEF?面ACF 证明：如图，建立空间直角坐标系A-xyz ， A D C B 求证：平面MNC⊥平面PBC； 已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝a，AD＝ ，M、N分别是AD、PB的中点。 P M N *