高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法(三).ppt

空间向量之应用3 利用空间向量求距离 课本P42 课本P33 练习1: 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DA1与AC的距离。 练习6:如图, 结论1 结论2 zhizuoren:njlhlch@126.com * a l a a b l A B B1 A1 n a n P A O M N 方法指导：若点P为平面α外一点，点A为平面α内任一点，平面的法向量为n，则点P到平面α的距离公式为 一、求点到平面的距离 如何用向量法求点到平面的距离： 例1、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 D A B C G F E x y z D A B C G F E x y z 例1 S B C D A x y z A P D C B M N 练习2: D M P N A x C B z y 例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面GEF的距离。 D A B C G F E x y z 二、求直线与平面间距离 正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的距离 A1 B1 C1 D1 A B C D X Y Z 练习3: G 例3、正方体AC1棱长为1，求平面AD1C与平面A1BC1的距离 A1 B1 C1 D1 A B C D X Y Z 三、求平面与平面间距离 练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。 A B C D A1 B1 C1 D1 M N E F x y z B A a M N n a b 四、求异面直线的距离 n a b A B 方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为 z x y A B C C1 E A1 B1 例4 z x y A B C C1 即 取x=1,z则y=-1,z=1,所以 E A1 B1 例4 A B D C A1 B1 C1 D1 x y z 练习5 A S C D B x y z a n P A O M N B A a M N n a b zhizuoren:njlhlch@126.com 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作⊥?. 如果⊥?，那么向量?的法向量. 点P到平面?的距离可以通过，在平面?内任取一点A，求向量在平面?的法向量上的投影来解决. 异面直线间的距离可以通过，在两条直线上任意各取一点A、B，求向量在公共法向量上的投影来解决. 已知向量和轴l，是l上与l同方向的单位向量. 作点A在l上的射影A1，作点B在l上的.已知直三棱柱的侧棱,底面中,,,是的中点,求异面直线与的距离. 这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值. 如图A空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为,且与不共线,能否用与表示? 分析:过P作PO⊥于O,连结OA. 则d=||= ∵⊥,∴∥. ∴cos∠APO=|cos|. ∴d=|||cos|==. 解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)． 设平面EFG的一个法向量为 : 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离. 答:点B到平面EFG的距离为. 练习(用向量法求距离): 如图,是矩形,平面,,, 分别是的中点,求点到平面的距离. ：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz 则D(0,0,0),A(a ,0,0),B(a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a ) ∵分别是的中点,∴ ∴,, 设为平面的一个法向量, ∴ ∴且 解得, ∴可取 ∴在上的射影长即点到平面的距离为. .已知直三棱柱的侧棱,底面中,,,是的中点,求异面直线与的距离. 已知向量和轴l，是l上与l同方向的单位向量. 作点A在l上的射影A1，作点B在l上的