上海市交通大学附属中学2023-2024学年高三下学期四模数学试题（含答案解析）.docx
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上海市交通大学附属中学2023-2024学年高三下学期四模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．函数的最小正周期为.
2．设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为.
3．已知集合且，则实数a的取值范围是．
4．数列的最小项的值为.
5．椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为.
6．如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为（用表示）.
??
7．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则.
8．已知正实数满足，，则.
9．已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，若圆台上、下底面的面积和等于圆台的侧面面积，则圆台的母线与底面所成角的大小为（用反三角函数表示）.
10．考虑的非空子集，满足中的元素个数等于中的最小元素，例如，就满足此条件.则这样的子集共有个.
11．平面点集所构成区域的面积为.
12．设为大于2的自然数，将二项式两边同时求导，可以得到一些特别的组合恒等式，结合课本中杨辉三角研究方法，可以得到.
二、单选题
13．已知等比数列的公比为q，且，则“”是“是递增数列”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知随机变量，，它们的分布密度曲线如下图所示，则下列说法中正确的是（????）
??
A．， B．，
C．， D．，
15．已知函数具有以下的性质：对于任意实数和，都有，则以下选项中，不可能是值的是（????）
A． B． C．0 D．1
16．已知正方体和点，有两个命题：
命题甲：存在条过点的直线，满足与正方体的每条棱所成角都相等；
命题乙：存在个过点的平面，满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等；
则下列判断正确的是（????）
A． B．
C． D．的大小关系与点的位置有关
三、解答题
17．已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前2024项和.
18．某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：
飞行距离
56
63
71
79
90
102
110
117
损坏零件数（个）
61
73
90
105
119
136
149
163
(1)建立关于的回归模型，根据所给数据及回归模型，求回归方程及相关系数.（精确到0.1，精确到1，精确到0.0001）
(2)该公司进行了第二次测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？
保养
未保养
合计
报废
20
未报废
合计
60
100
附：，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
19．设一个简单几何体的表面积为，体积为，定义系数，已知球体对应的系数为，定义为一个几何体的“球形比例系数”.
(1)计算正方体和正四面体的“球形比例系数”；
(2)求圆柱体的“球形比例系数”范围；
(3)是否存在“球形比例系数”为0.75的简单几何体？若存在，请描述该几何体的基本特征；若不存在，说明理由.
20．已知点在双曲线的一条渐近线上，为双曲线的左、右焦点且.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程；
(3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点，求证：.
21．已知为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意，，均有.则称是集合到集合的一个“完美对应”.
(1)用初等函数构造区间到区间的一个完美对应；
(2)求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应；
(3)若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围.
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参考答案：
1．
【分析】利用辅助角公式化一，再根据三角函数的周期性即可得解.
【详解】，其中，
所以函数的最小正周期为.
故答案为