高等代数(北大版)行列式§.ppt

数学与计算科学学院 * §2.6 行列式按一行（列）展开 * * * §4 n 级行列式的性质 §8 Laplace定理 行列式乘法法则 §3 n 级行列式 §2 排列　　　 §1 引言 §5 行列式的计算 §7 Cramer法则 §6 行列式按行(列)展开 第二章 行列式 一、余子式、代数余子式 二、行列式按行(列)展开法则 引入 可见，三级行列式可通过二级行列式来表示． 一、余子式、代数余子式 定义 在 n 级行列式 中将元素 所在的 第 i 行与第 j 列划去，剩下 个元素按原位置 次序构成一个 级的行列式， 称之为元素 的余子式,记作 ． 令 称 之为元素 的代数余子式． 注： ① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式 和代数余子式． 无关，只与该元素的在行列式中的位置有关． ② 元素 的余子式和代数余子式与　 的大小 元素除 外都为 0，则 1.引理 二 、行列式按行(列)展开法则 若n 级行列式 D = 的 中第 i 行所有 证： 先证　　　　的情形，即 由行列式的定义，有 结论成立。 一般情形： 结论成立。 2.定理 行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即 或 行列式按行（列）展开法则 证： 例1.计算行列式 解： 例2.证明范德蒙行列式 证：用数学归纳法. 时， 假设对于 级范德蒙行列式结论成立．即 结论成立． 把 从第 n 行开始，后面一行减去前面一行的 　倍，得 下证对于 n 级范德蒙行列式　 结论也成立. 范德蒙行列式 中至少两个相等． 注： 3.推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即