几何与代数ch_练习.doc

向量理论与线性方程组练习 一、填空与选择 1. 设Am(n，r(A) = m n，则（ ） (A) A任意m个列向量L.i. (B) A任意m阶子式非零 (C) A经初等行变换可化为( Em, 0 ) (D) 若BA = 0 ( B = 0 2. 设n阶矩阵A，| A | = 0，则（ ） (A) 必有一列元素为0 (B) 必有2列元素成比例 (C) 必有一列可以有其余表示 (D) 任一列可由其余表示 3. 设An(n，各行元素之和均为1，且r(A) = n - 1，则Ax = 0的通解为 4. 设An(n，| A | = 0，A11 ( 0，则Ax = 0的通解为 5. 设Am(n，r(A) = m n，则（ ） (A) 有m阶奇异矩阵Q，使QA = ( E, 0 ) (B) 有m阶可逆矩阵P，使PA = ( E, 0 ) (C) Ax = 0唯一零解 (D) Ax = b无穷多解 6. 以x = c1(( 2, -3, 1, 0 )T + c2(( -2, 4, 0, 1 )T为通解的齐次方程组可以表示为 7. 设A3(3，r(A) = 1，则r( A* ) =（ ） (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 8. 设Am(n，Bn(m，则(AB)x = 0（ ） (A) n m时仅有零解 (B) m n时必有非零解 (C) m n时仅有零解 (D) n m时必有非零解 二、计算与证明 向量空间练习 一、填空与选择 1. 与向量( = (1, 0, 1), ( = (1, 1, 1)均正交的单位向量为 2．若A是正交矩阵, 则行列式 |A3AT| = 3．空间R2中向量( = (2, 3)在R2的基( = (1, 1) ( = (0, 1)下的坐标为 4. 设是向量空间的一组标准正交基，n维向量在该基下的坐标分别为和，则（ ） (A) (B) (C) 当且仅当x = y (D) 正交当且仅当正交 5. 设是n阶矩阵A的伴随矩阵，则A为正交矩阵的充要条件是（ ） (A) (B) A的列向量两两正交 (C) (D) A的列（行）向量组为单位正交向量组 6. 设是n阶正交矩阵，，是的代数余子式，则（ ） (A) (B) (C) (D) 二、计算与证明 1. 设是单位向量。(1) 证明：矩阵是正交矩阵；(2) 当时，求出矩阵A。 2. 设矩阵，它的行向量组线性无关，如果向量是齐次线性方程组的一个非零解，试讨论向量组的线性相关性。 3. 设向量组、、、，V = L((1, (2, (3)是由(1, (2, (3生成的空间。已知dim (V) = 2，( ( V。(1) 求a、b；(2) 求V的一个基，(在此基下的坐标；(3) 求V的一个标准正交基。 4. 设向量空间有两组基： (I) ； (II) ； 且由(I)到(II)的过渡矩阵为。证明： (1) 如果(I)和(II)都是标准正交基，则C为正交矩阵； (2) 若(I)是标准正交基，C是正交矩阵，则(II)也是标准正交基。 矩阵相似与特征值练习 一、填空与选择 1. 若可逆矩阵P使AP = PB，B =，则方阵A的特征多项式为 2. 设A是3阶方阵，I(A、2I(A、A+3I都不可逆，则A与对角阵 相似(其中I是3阶单位矩阵) 3. 已知向量( = 是矩阵A = 的特征向量，则参数a = ，相应的特征值等于 4. 假设矩阵A = ，则在实矩阵B = 、C = 、D = 、E = 、F = 中，与A相抵的有 ；与A相似的有 ；与A相合的有 5. 若3是n阶矩阵A的一个特征值，行列式|A| = 2，则A的伴随矩阵A*的一个特征值为 6. 设方阵A与B相似，则必有（ ） (A) (B) A与B有相同的特征值与特征向量 (C) A与B都与同一个对角阵相似 (D) 对任意的常数t，都相似 7. 设A是n阶实对称矩阵，P可逆矩阵，是A的属于特征值的特征向量，则矩阵属于的特征向量是（ ） (A) (B) (C) (D) 8. 设4阶矩阵A与B相似，A的特征值为，则行列式 9. 设矩阵A相似于矩阵，则 10. 设1和2是实对称矩阵A的两个特征值，是对应特征值1的一个单位特征向量，则有两个特征值为 二、计算与证明 1. 设实对称矩阵A = 与B = 相似。 (1) 求参数k, l的值; （2）求一正交阵Q, 使得QTAQ = B