大学几何代数.ppt

第二章 线性方程组与矩阵的运算 线性方程组 的解取决于 一、线性方程组的相关概念 第一节 线性方程组与矩阵的基本概念 系数 常数项 设线性方程组 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 此时称方程组为齐次线性方程组. 非齐次与齐次线性方程组的概念 对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究. 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 二、矩阵的定义 由 个数 排成的 行 列的数表 称为 矩阵.简称 矩阵. 记作 简记为 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 主对角线 副对角线 例如 是一个 实矩阵, 是一个 复矩阵, 是一个 矩阵, 是一个 矩阵, 是一个 矩阵. 例1 三、消元法解线性方程组 求解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程． 小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （　与　相互替换） （以　　　替换　） （以　　　　替换　） 3．上述三种变换都是可逆的． 　　由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换． 　　因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算． 若记 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换． 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 四、矩阵的初等变换 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)． 逆变换 逆变换 逆变换 特点： （1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）、每个台阶 只有一行， 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元． 注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的． 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．