厦门大学网络教育线性代数复习题B(含答案).doc

厦门大学网络教育2011-2012学年第二学期 《线性代数》复习题B 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．设行列式 ，则（ ）。 A．； B．； C．； D．。 2．已知为阶非零方阵，为阶单位矩阵，若，则（ ）。 A．不可逆，不可逆； B．不可逆，可逆； C．可逆，可逆； D．不可逆，可逆。 3．向量，，线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。 A．，，； B．，，； C．，，； D．，，。 4．若3阶方阵及，都不可逆，则的特征多项式中常数项为（ ）。 A．； B． ； C．； D．。 5．下列命题错误的是（ ）。 A．相似矩阵有相同的特征多项式； B．个维向量必线性相关； C．矩阵是阶正交矩阵的充分必要条件是； D．若矩阵的秩是，并且存在阶子式，则其所有的阶子式全为。 6．下列命题正确的是（ ）。 A．若，为同阶方阵，且，则也是对称阵； B．若，且，其中为零矩阵，则； C．齐次线性方程组（是矩阵）有唯一解的充分必要条件是； D．设非齐次线性方程组有无穷多解，则相应的齐次线性方程组有唯一解。 二、填空题(每小题3分,共18分) 7．设矩阵，，其中，，，，均为四维列向量，且已知行列式，，则行列式 。 8．若，当_______时，。 9．与正交，则 。 10．已知3阶矩阵的特征值为，，，则矩阵（为三阶单位矩阵）的特征值为 。 11．设为可逆矩阵，且，则 。 12．若，均可逆，，则可逆，且 。 三、计算题(共64分) 13．行列式计算（10分） 求行列式，其中，是阶行列式，主对角线上的元素为，其余元素为。 14．求解矩阵方程（10分） 设，，求。 15．线性方程组的计算（12分） 设有线性方程组，问取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无限多解时求其通解。 16．向量组计算（10分） 已知向量组，，，，，试求，，，，的一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。 17．设二次型可通过正交变换化成标准型，求参数及使用的正交变换（20分） 说明：（1）先将二次型表示成矩阵形式（2分）；（2）求出的值（5分）；（3）求出对应于特征值的特征向量（6分）；（4）将这些特征向量正交单位化（3分）；（5）最后写出所作的正交变换（4分）。请按上述五步顺利给出解题过程。 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．B。解：由行列式的性质可知 。 2．C。解：由于，，因此，均可逆，故选C。 3．C．解：显然有，所以，，线性相关，故选C。 4．A。解：根据定理5.1知，设是的特征值，则必有，于是不可逆，又及，都不可逆，那么，，不可逆，知的特征值为，，，而的特征多项式中常数项的值等于。 5．D。解：A．正确，相似矩阵有相同的特征多项式（§5.2性质5）。 B．正确，个维向量必线性相关（定理2.5 ）。 C．正确，矩阵是阶正交矩阵的充分必要条件是，这是正交矩阵的定义。 D．错误，矩阵的秩是，若其所有的阶子式全为，则的任何阶子式都为，这与矩阵的秩为矛盾（注意矩阵的秩是，说明其存在一个阶非零子式）。 6．A。解：A．正确，若，为同阶方阵，且，则，则也是对称矩阵。 B．错误，反例：，记，但 。注意矩阵乘法不满足消去律，当，只有可逆时，才有。 C．错误，齐次线性方程（是矩阵）有唯一解的充分必要条件是。 D．错误，非齐次线性方程组有无穷多解，则的秩小于的列秩，即的秩小于方程未知数的个数，是相应的齐次线性方程组有无穷多解的充要条件。 二、填空题(每小题3分,共18分) 7．解： 。 8．解：，又，故。 9．因为，正交，所以，则。 10．解：由，可知是的特征值，于是由的特征值，，可知的特征值为，，。 11．解：为可逆矩阵，则可写成一系列初等矩阵的乘积，由左乘得到，相当于可通过初等行变换把变成，由于初等变换不改变矩阵的秩，故，而，所以。 12．解：由且、可逆可知，可逆，设矩阵，使得，即，则，故；，则；，故，；，则，故所以。 三、计算题(共64分) 13．解： （将各列分别加到第1列得） 再将第一行乘以分别加到其余各行，得 14．解：由，可得。由于 ， 而，所以可逆，则。 ～～ 因此。 15．解：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有 。 （1）当且时，，方程组有唯一解。 （2）当时，，，方程组无解。 （3）当时，，方程组有无限个解， 这时， ， 由此便得通解 （可任意取值） 即