函数导数及其应用(导数).doc

函数、导数及其应用 2.7导 数 【高考目标定位】 一、变化率与导数、导数的计算 1、考纲点击 （1）了解导数概念的实际背景 （2）理解导数的几何意义； （3）能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,的导数; （4）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数。 2、热点提示 （1）导数的几何意义是高考考查的重点内容，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中； （2）导数的运算每年必考，一般不单独考查，在考查导数应用研究的同时考查导数的运算。 二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 1、考纲点击 （1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）； （2）了解函数在某点取得极值域的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。 （3）会利用导数解决某些实际问题。 2、热点提示 （1）在高考中，重点考查利用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值，以及利用导数解决生活中的优化问题。有时在导数与解析几何、不等式、平面向量等知识交汇点处命题。 （2）多以解答题的形式出现，属中、高档题目。 【考纲知识梳理】 一、变化率与导数、导数的计算 1、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为，若，则平均变化率可表示为。 2、函数y=f(x)在x=x0处导数 （1）定义 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 为y=f(x)在x=x0处导数，记作 （2）几何意义 函数f(x)在点x处的导数的几何意义是在曲线y=f(x)上点（，）处的切线的斜率。相应地，切线方程为y-y0=(x=x0). 3、函数f(x)的导数 称函数为函数f(x)的导函数，导函数有时也记作 注：求函数f(x)在x=x0处的导数的方法： 方法一：直接使用定义；; 方法二：先求导函数，再令x=x0求 4、基本初等函数的导数公式 函数 导数 5、导数运算法 导数运算法则 1． 2． 3． 6、复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积。 二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 1、函数的单调性与导数 在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。如果，那么函数在这个区间上是常数函数。 注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件。 2、函数的极值与导数 （1）曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正． 一般地，当函数 f(x) 在点 x0 处连续时，判断 f(x0) 是极大（小）值的方法是： （1）如果在 x0附近的左侧 f’(x)0 ，右侧f’(x) 0 ，那么 f(x0) 是极大值． （1）如果在x0附近的左侧 f’(x) 0 ，右侧f’(x) 0 ，那么 f(x0) 是极小值． 注：导数为0的点不一定是极值点 3、函数的最值与导数 函数f(x)在[a,b]上有最值的条件 如果在区间[a,b]上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。 4、生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路是 优化问题用函数表示的数学问题用导数解决函数问题优化问题答案 【热点、难点精析】 一、变化率与导数、导数的运算 （一）利用导数的定义求函数的导数 1、相关链接 （1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法： ①求函数的增量； ②求平均变化率； ③得导数，简记作：一差、二比、三极限。 （2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。 2、例题解析 〖例1〗求函数y=的导数。 解析：错误！不能通过编辑域代码创建对象。， ， =-。 〖例2〗一质点运动的方程为。 求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度； 求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法） 分析（1）平均速度为； （2）t=1时的瞬时速度即在t=1处的导数值。 解答：（1）∵ ∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2, . （2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度 求导法：质点在t时刻的瞬时速度 ，当t=1时，v=-6×1=-6. 注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移