电磁场与电磁波 第1章矢量分析.pptx

第1章矢量分析

VectorAnalysis;矢量的概念;

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;3、标量积（点乘）：A·B＝ABcosθ

θ是A和B的夹角。;例：矢量a,b确定一个平面，求此平面的法向单位向量;;1.3矢量场和标量场;矢量线;直角坐标系中矢量线的微分方程;2、标量场，以电场为例（另外如：温度场、密度场…）

电场中每一点都可以定义一个电位U1、U2……，这些标量的总和构成一个标量场U(x,y,z,)，标量场可以用等值线（面）表示，例如等位面U(x,y,z)＝常数。;1.4三种常用的正交坐标系;;;;;直角坐标系中的矢量A可以利用下式换算为圆柱坐标系中的矢量;将矢量

变换到直角坐标系中。;例题1将矢量

变换到直角坐标系中。;例：已知直角作标系中的矢量

求该矢量在圆柱坐标系中的表达式;;圆柱坐标系中与三个坐标方向相垂直的三个面积元分别为;3球坐标系Sphericalcoordinatesystem

球坐标系中的三个坐标分量是r、θ、φ，它们的变化范围分别是0≤r＜∞，0≤θ≤π，0≤φ≤2π

球坐标系与直角坐标系之间的变换关系为;直角坐标系中的矢量A可以利用下式换算为球坐标系中的矢量

同样，可以利用上式中变换矩阵的逆矩阵把球坐标系中的矢量A换算为直角坐标系中的矢量

;球坐标系中的位置矢量为r;球坐标系中与三个坐标方向

相垂直的三个面积元分别为;三种坐标系的比较;作业;;2、矢量场的散度（Divergenceofavectorfield);;;⑵、散度的定义;⑶、散度的表达式;散度的意义;3、散度定理(DivergenceTheorem)

高斯定理（Gauss’sLaw);解：由于在球坐标内，A(r)＝err，r＝a的球面上各点的矢量

为A(a)＝era，其大小处处相等，而球面上的面元矢量

dS＝erdS，所以;作业;问题的提出;水流沿平行于水管轴线方向流动，无涡旋运动。;环量(Circulation);（二）、矢量场的旋度，斯托克斯定理;2、矢量场的旋度(thecurlofavectorfield);⑵、旋度的表达???：;旋度的物理意义;⑶、旋度的一个重要性质（旋无散）;;;;本例题的数学公式：;;半球面S的边界是xy平面内的圆x2+y2＝1，边界上的线元dl＝exdx＋eydy，沿边界的环流为;作业;（三）、标量场的梯度(GradientofScalarField)

;沿en方向，Φ的变化率最大。;2、梯度的表达式

（1）在直角坐标系中;3、梯度的一个重要性质（梯无旋）;作业;关于矢量场的三个基本问题：;五、亥姆霍兹定理（HelmholtzTheorem）;任一矢量场由两个部分构成

一部分是无散场，由旋涡源激发，满足：

另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：

;五、亥姆霍兹定理（HelmholtzTheorem）

一个矢量场由它的散度和旋度唯一地确定，且可以被表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。即;;六、微分算符;证明：在直角坐标系中，;证明：在直角坐标系中，;作答;例2、在由r＝5，z＝0和z＝4

围成的圆柱形区域，对矢量

，验证散度定理：;例3：距离矢量的微分;⑴证明：（1）;作业