江苏省连云港市2014届高三3月第二次调研考试数学理试题Word版含解析.doc

一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）． 1.已知集合，，若，则 ▲ ． 2.若复数z =（为虚数单位），则 | z | = ▲ ． 4.一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：，2；，3；，4；，5；，4；，2．则样本在上的频率是 ▲ ． 5.执行如图所示的算法流程图，则最后输出的等于 ▲ ． 6.设函数，若，则的值为 ▲ ． 【答案】2 【解析】 考点：直线与平面所成的角． 8.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ． 9.已知，，则的值为 ▲ ． 10.设等差数列的前项和为，若，，，则正整数= ▲ ． 11.已知正数满足，则的最小值为 ▲ ． 【答案】9 【解析】 试题分析：由，得 ，当且仅当，即，也即时等号成立，故最小值是9． 考点：基本不等式． 12.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为 ▲ ． 13.已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ▲ ． 【答案】 【解析】 14.在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若△ABC的面积的最大值为，则实数的取值范围为 ▲ ． 【答案】 【解析】 或． 考点：点与圆的位置关系，圆心到弦的距离． 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 设函数． （1）求的最小正周期和值域； （2）在锐角△中，角的对边分别为，若且，，求和． 【答案】(1)，；(2)． 【解析】 ∴． …………………14分 考点：(1)三角函数的性质；(2)解三角形． 16.（本小题满分14分） 如图，在三棱柱中，侧面为菱形， 且，，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求证：∥平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)见解析． 【解析】 是的中点，∴． 17.（本小题满分14分） 一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）． （1）求V关于θ的函数表达式； （2）求的值，使体积V最大； （3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由． 【答案】(1) ；(2)；（3）是. 【解析】 （3）木梁的侧面积=，． =，．…………………10分 设，．∵， ∴当，即时，最大． …………………12分 又由（2）知时，取得最大值， 所以时，木梁的表面积S最大． …………………13分 综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． …………………14分 考点：（1）函数解析式；（2）用导数求最值；（3）四棱柱的表面积及其最值. 18.（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系中，已知，，是椭圆上不同的三点，，，在第三象限，线段的中点在直线上． （1）求椭圆的标准方程； （2）求点C的坐标； （3）设动点在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值． 【答案】(1) ；(2) ；(3) ． 【解析】 所以椭圆的标准方程为． …………………3分 19.（本小题满分16分） 设各项均为正数的数列的前n项和为Sn，已知，且对一切都成立． （1）若λ = 1，求数列的通项公式； （2）求λ的值，使数列是等差数列． 【答案】(1)；(2)． 【解析】 试题分析：(1)本题已知条件是，我们要从这个式子想办法得出与的简单关系式，变形为，这时我们联想到累乘法求数列通项公式的题型，因此首先由得 ∴当时，．② ② ? ①，得， ∴（）． ………………… 6分 所以λ = 0时，数列是等差数列． ………………… 16分 考点：递推公式，累乘法，与的关系，等差数列． 20.（本小题满分16分） 已知函数，其中m，a均为实数． （1）求的极值； （2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值； （3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得 成立，求的取值范围． 【答案】(1)极大值