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3.3新北师大版九下第三章圆第三节垂径定理.ppt

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2015.01 3.3 垂径定理 九年级数学(下)第三章 圆 1.圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴. 2.圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心. 知识回顾 4.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等。 5.定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3.顶点在圆心的角叫做圆心角. ③AM=BM, 垂径定理 AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. ●O 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 小明发现图中有: A B C D M└ 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。 垂径定理 证明:连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB,OM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴AM=BM, ∠AOC=∠BOC ∵∠AOD=180°-∠AOC, ∠BOD=180°-∠BOC ∴ ∠AOD=∠BOD 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧 ●O A B C D M└ ③ AM=BM 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ●O A B C D M└ 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。 ∵CD是直径, CD⊥AB ,AB是弦 ∴AM=BM,AD=BD,AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ②CD⊥AB, 垂径定理的逆定理 AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由. 过点M作直径CD. ●O 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 小明发现图中有: C D 由 ① CD是直径 ③ AM=BM 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ● M A B ┗ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ∵CD是直径,AB是弦,并且CD平分AB ∴CD⊥AB,AD=BD,AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 垂径定理的应用 例1 :如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解:连接OC. ●O C D E F ┗ 讨论 (1)过圆心 (2)垂直于弦 (3)平分弦 (4)平分弦所对优弧 (5)平分弦所对的劣弧 (3) (1) (2) (4) (5) (2) (3) (1) (4) (5) (1) (4) (3) (2) (5) (1) (5) (3) (4) (2) (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 (3)平分一条弧的直径,垂直平分弧所对的弦,并且平分弦所对的另一条弧 ●O A B C D M└ 命题(1):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ∵CD是直径,AB是弦,并且CD平分AB ∴CD⊥AB,AD=BD,AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 命题(2):弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ∵ AB是弦,CD平分AB,CD ⊥AB, ∴ CD是直径, AD=BD,AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 命题(3):平分一条弧的直径,垂直平分弧所对的弦,并且平分弦所对的另一条弧 ∵ CD是直径,AB是弦,并且AD=BD (AC=BC) ∴ CD平分AB,AC=BC(AD=BD)CD ⊥AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ . O A E B D C 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对 的两条弧 (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 (3)平分一条弧的直径,垂直平分弧所对的弦,并且平分弦所对的另一条弧 垂径定理 记忆 . O A E B D C ●O A B C D M└ 弧的中点到弦的距离,叫弓形高或弓高,如图线段CM是弓高 圆心到弦的距离,叫弦心距。如图线段OM是O到弦AB的弦心距。 赵州石拱桥 1. 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 赵州石拱桥 解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
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