微分中值定理及其应用(详解).doc

第3章 微分中值定理及其应用 (作业1) 一选择题 1、使函数适合罗尔定理条件的区间是（ A ） A、； B、； C、； D、； 3、在上连续，在内可导，则（1）与（2）在内至少有一点，使得，之间的关系是（ B ） A、（1）是（2）的必要但非充分条件； B、（1）是（2）的充分但非必要条件； C、（1）是（2）的充分必要条件； D、（1）不是（2）的充分条件；也不是（2）的必要条件。 二、填空题 1、设，则方程，有 3 个实根，且其根所在的区间为 (1,2),(2,3),(3,4) 。 3、方程有 1 个正根。 三.计算与证明题 2.证明当时，。 证：设则（1）在上连续；（2）在内可导，由拉格郎日定理可知，在内至少存在一点，使得即由于，因此，，所以 3.若方程有一个正根，验证方程 必有一个小于的正根。 证明： 设由于在上连续，在内可导，且根据罗尔定理，使得即.显然就是方程的一个小于的正根。 4.若函数在区间（a，b）内具有二阶导数，且，其中，证明：在（x，x）内至少有一点，使得。 证明：由于在[]上连续，在（x，x）内可导，且，根据罗尔中值 定理可知，使，同理使。又函数在[]上连续，在（）内可导且，根据罗尔定理：使即 5.如果，试证，其中在之间。 分析1：将两边同时除以得： ；继续变形得：，于是左边刚好与柯西中值定理的形式相同，所以可以考虑用柯西中值定理去解。 证法1：设；应用柯西中值定理可知： 即 第3章 微分中值定理及其应用 (作业2) 填空题 1、的值等于 0 。 2、的值等于。 4、的值等于 0 。 5、的值等于 0。 选择题 1、的值等于（ B ）。 A、1； B、0； C、∞； D、不存在，但不是∞。 2、的值等于（ A ）。 A、； B、； C、1； D、。 3、的值等于（ B ） A、0； B、； C、2； D、不存在。 三、计算与证明题 1、.求解：（型） 2、求 解：（型）（型） =0 3、求 解： 5、. 求 解： ==； 其中== == 故 6、 求 解：其中 =0故 7、 求 解：设则====0 8.讨论函数 在点处的连续性。 解： 当时， ；于是 。故 在处连续。 第3章 微分中值定理及其应用 (作业3) 填空题： 1、函数的6阶麦克劳林公式的余项 0 。 2、函数的n次麦克劳林多项式 。 3、函数在处的n次泰勒多项式 二.计算与证明题 2..当 时，求函数 的阶泰勒公式。 解： ， （在和之间） 3.求函数的阶麦克劳林公式。 解: ， ；可表示为 第3章 微分中值定理及其应用 (作业4) 一.选择题 1.设在[0,1]上则或几个数的大小顺序为（ B ） A. B. C. D. 2. 设函数在上连续可导，，且，则当时有（ C ） A、； B、； C、； D、； .三计算与证明题 1. 时,