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微分中值定理及其应用3.DOC

发布:2017-09-02约3.61千字共15页下载文档
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§3 函数的升降、凸性和函数作图 1.函数的单调性 定理5.9 设在连续,在可导,则 在单调上升的充要条件是在有. (下降) 。 思考:下面是否成立??? 在严格单调上升的充要条件是在有. (下降) 。 研究例子在上连续、可导、严格单调上升, 但在有,因此即使是在严格单调的情况下,必要性结论也不能加强为。 证明 充分性前面已证,下证必要性. 设在单调上升,则对任意,当且时, , 于是 对单调下降的情形同理可证. 设,讨论函数的单调区间. 解 为讨论方便,我们常列表如下: 从表中可见函数单调上升区间是和, 单调下降区间是. 单调性的另一个重要应用是证明不等式. 证明: 当时有 等号成立当且仅当. 前面用拉格朗日中值定理证明了此不等式,下面再用单调性证明之. 证明 令,则 因为在连续,故在严格上升,在严格下降,所以 且, 即 且. 令 因为在点连续,故在严格上升,在严格下降,所以 ,且. , 且. 综合上述有 且. 显然当时,上述不等式化为等式. 2.函数的极值 基本思想:先考虑极值点的必要条件,从定义域中确定出可能的极值点, 再考虑充分性判别,判别这些点是否确是极值点. 若,称点为稳定点. 费马定理: 若是的极值点且存在,则有. 或说,若可导,则极值点必是稳定点. 那么,稳定点和不可导点是否就是极值点呢? 是函数的稳定点,但显然不是极值点. 又如函数 在点连续但不可导. 显然, 点也不是极值点. 定理5.10 (极值的第一充分条件) (一阶导判别) 设在点连续, 在和可导, 则 若,则在点取得极小值; 若,则在点取得极大值; 若在和同时为正或同时为负, 则点不是极值点. 证明 1) 因为在点连续,则 , 在单调下降, , 在单调上升, 故有, ,即是极小值点。 (当不等号为严格不等时,则极值也是严格的。) 2) 同理可证. 3) 在和同号,且在点连续,则在这两个区间上有相同的单调性,且在上严格单调,从而不是极值点. 这个定理并不要求在点可导,但要求在点连续.如果条件再加强一点,则有下面的判别法. 定理5.11(极值的第二充分条件) (二阶导判别) 设在可导且,又存在. 1) 若,则是严格极大值; 2) 若,则是严格极小值. 直观解释:表明在点的变化是逐渐减小, 而 表明在点自左向右是从到, 即,曲线在点附近的切线斜率是从变到. 这时直观地可见,是极大值点.下面给出定理的证明. 证明 1) 已知 。 由极限的保号性,存在,当时,有 故当时,,即在严格上升; 当时,,即在严格下降。 从而且。即是严格极大值。 2) 同理可证。 注 当时,不能断言是极值! 研究函数 和 。 , 但不是极值而显然是极小值,从而是极大值。可见当时,各种情形都可能发生,这时要用第一充分条件进行判别。 例3 求的极值点与极值 解 函数在上连续,当时有 令得稳定点。现列表如下: 5 0 不存在 0 极大值点,极大值为; 极小值点,极小值为。 3.函数的凹凸性 函数,曲线上任意两点间的弧段总是位于这两点连线的下方, 称具有这种特点的曲线是下凸的, 函数.曲线上任意两点间的弧段总是位于这两点连线的上方, 称具有这种特点的曲线是上凸的。 设和是曲线上任意两点,则 这两点连线的方程 与之间的任一点可表为 因此,曲线上两点间的弧段总是位于两点连线的下方等价于 即 . 故我们有下述严格的定义. 定义 设在有定义.若和,有 , 则称在为下凸函数,若和,有 , 则称在为上凸函数. 凸函数与凹函数的关系 在为上凸函数 在为下凸函数, 故以下只讨论下凸函数。 定理5.12 在为下凸函数的充要条件是对中任意三点,有 公式的几何意义: 任意,有曲线上三点, 则曲线是下凸的当且仅当的斜率小于或等于的斜率. 证明 事实上, 等价于 , 等价于 等价于
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