信号与线性系统分析-第7章.ppt

§8.3 离散系统状态方程的建立 与连续系统类似，具体方法为： （1）由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出其信号流图或框图； （2）选一阶子系统(迟延器）的输出作为状态变量； （3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方程； （4）在系统的输出端列输出方程。 例1 某离散系统的差分方程为 y(k) + 2y(k –1) –y(k –2) = f(k –1) –f(k –2) 列出其动态方程。 解：不难写出系统函数 画信号流图： 设状态变量x1 (k) ，x2 (k) ： x1 x2 x1(k+1)=x2 (k) ： x2(k+1) x2(k+1)= x1 (k) –2x2(k) + f(k) ： 输出方程 y (k)=–x1 (k) + x2(k) 例2 某离散系统有两个输入f1(k)、f2(k)和两个输出y1(k)、y2(k)，其信号流图如图示。列写该系统的状态方程和输出方程。 解 p1(k) = 2x1(k) +2x3(k) p2(k) =3p1(k)-x3(k) +f2(k) = 6x1(k) +5x3(k) + f2(k) 二、由状态方程进行系统模拟 例：某离散系统的状态方程和输出方程为 画出该系统的信号流图 结果 §8.4 连续系统状态方程的求解 状态方程和输出方程的一般形式为 用拉普拉斯变换法求解状态方程 sX(s) -x(0-) = A X(s) + BF(s) ( sI -A )X(s) = x(0-) +BF(s) X(s)=(sI -A )-1x(0-) +(sI -A )-1BF(s)=Φ(s)x(0-) +Φ(s)BF(s) 式中Φ(s) = ( sI -A )-1常称为预解矩阵 。 Y(s) = CX(s) +DF(s) Yzi(s) = CΦ(s)x(0-) Yzs(s) = [CΦ(s)B +D ] F(s) H(s) = [CΦ(s)B +D ] Φ(s)的极点就是H(s)的极点.即| sI-A|=0的根。 =CΦ(s)x(0-) +[ CΦ(s)B +D ] F(s) 例1 描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为 解 X(s) = Φ(s)[x(0-) +BF(s)] 起始状态x1(0-)=3，x2(0-)=2，输入f(t) =δ(t)。求状态变量和输出。并判断该系统是否稳定。 y(t) = [1 1]x(t) + f(t) = =δ(t)+ 6e-2tε(t) 由于H(s)的极点均在左半平面，故该因果系统稳定。 H(s)的极点就是|sI-A|=0的根。 |sI-A|=(s+2)(s+3) §8.5 离散系统状态方程的求解 状态方程和输出方程的一般形式为 用z 变换法求解状态方程 zX(z)-zx(0) = AX(z)+BF(z) Y(z) = CX(z)+DF(z) X(z) = (zI-A)-1zx(0) +(zI-A)-1BF(z) 设Φ(z)= (zI-A)-1 z X(z) = Φ(z)x(0) +z-1Φ(z)BF(z) Y(z) = CΦ(z)x(0)+[Cz-1Φ(z)B+D]F(z) yzi(k) =Z-1[CΦ(z) x(0) ] ，yzs(k) =Z -1[( Cz-1Φ(z)B+D )F(z)] H(z)=[Cz-1Φ(z)B+D] Φ(z)的极点就是H(z)的极点.即| zI-A|=0的根。 例1 描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为 初始状态为 ，激励f(k)=ε(k)。求状态方程的解和系统的输出。 解 Φ(z)=[zI-A]-1z= X(z)=Φ(z)[x(0)+z-1BF(z)]= 4、方框图??流图 注意：加法器前引入增益为1的支路 例 5、流图简化的基本规则： （1）支路串联：支路增益相乘。 X2=H2X3=H2H1X1 （2）支路并联：支路增益相加。 X2=H1X1+H2X1 =(H1+H2) X1 （3）混联： X4=H3X3=H3(H1X1+ H2X2)= H1H3X1 + H2H3X2 （4）自环的消除： X3=H1X1+H2X2+ H3X3 所有来向支路除1 – H3 例：化简下列流图，求传输函数。 注意化简具体过程可能不同，但最终结果一定相同。 解：消x3 消x2 消x4 消自环 二、梅森公式 前方法求H复杂，利用Mason公式方便 系统函数H(.)记为H。梅森公式为： 为信号流图的特征行列式 为所有不同回路的增益之和； 为所有两两不接触回路的增益乘积之和； 为所有三三不接触回路的增益乘积之和；… i 表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号 Pi 是由源点到汇点的第i条前向通路增益； △i 称为第i条前向通路