浅谈函数列收敛与致收敛的关系及差异.doc

摘 要：本文从定义、定理、集合的角度，通过正反对比的例题，论述函数列收敛、一致收敛、内闭一致收敛间的相互关系及其差异 关键词 ： 函数列；收敛；一致收敛；内闭一致收敛 Abstract：This paper from the definition, theorem, the set point of view, through the contrast of examples, discusses the function series convergence, uniform convergence, in close relationship and difference between the uniform convergence Keyword：Function series; convergence; uniform convergence; uniform convergence 目 录 1 引言···················································4 2 函数列收敛与一致收敛的定义·····························4 2.1 函数列收敛············································5 2.2函数列的一致收敛······································5 3 论述函数列收敛与一致收敛的差异·························5 4 阐述函数列收敛与一致收敛的相互关系·····················9 4.1从定理的角度阐述······································10 4.2从集合的角度阐述·····································11 结论····················································12 参考文献················································13 致谢····················································14 1引言 收敛与一致收敛理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学的难点之一。特别是函数列的收敛与一致收敛问题，在各个版本的数学分析教科书中往往都把函数列的收敛问题与函数项级数的收敛问题混在一起，导致学生往往难以透彻的理解这个概念。而且证明时学生常常都用语言硬套，各个版本数学分析中对这个概念也仅仅是一般性叙述，例题很少，尤其是正反例题更少。所以本文为了让学生更好掌握这一重要概念将从定义、定理、集合的角度，系统论述函数列收敛与一致收敛及内闭一致收敛间的相互关系及差异，让这部分内容能够独立建立 2 函数列收敛与一致收敛的定义 2.1函数列收敛： 设 …,… （1） 是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列。（1）也可以简单地写作：或n=1,2,… 设∈E，以代入（1）可得数列 （2） 若数列（2）收敛，则函数列（1）在点收敛，称为函数列（1）的收敛点。若数列（1）在数集D上每一点都收敛，则称（1）在数集D上收敛。这时D上每一点，都有数列的一个极限值与之对应，由这个对应法则所确定的D上的函数，称为函数列（1）的极限函数。若把此极限函数记作则有 ∈D 或 （），∈D. 函数列极限的定义是：对每一个固定的∈D ，任给正数，恒存在正数N（注意：一般说来N值的确定与和的值有关，所以也用N（，）表示它们之间的依赖关系），使得当nN时，总有 . 使函数列收敛的全体收敛点的集合，称为函数列的收敛域. 2.2函数列的一致收敛 设函数列与函数定义在同一数集D上，若对任给的正数，总存在某一正数N，使得当nN时，对一切∈D，都有 ， 则称函数列在D上一致收敛于，记作