数理方程第三章.ppt

§3.3 积分变换法 课后作业 P83 习题三 5. 6. 积分变换法求解定解问题的基本步骤： 1) 选取恰当的积分变换。主要考虑自变量取值范围，傅立叶变换要求取值范围是 ，拉普拉斯变换要求取值范围是 2) 注意定解条件的形式。假如对 x 进行拉普拉斯 变换，而原方程是关于 x 的 k 阶方程，则定解 条件中必须出现 * * 定义：假设 I 是数集(实数或者复数)，K(s,x) 为 上的函数,这里 [a,b]为任意区间。如果 f(x) 在区间 [a,b] 有定义, 且 K(s,x) f(x) 为 [a,b] 上可积函数, 则含参变量积分 定义了一个从 f(x) 到 F(s) 的变换, 称为积分变换。 K(s,x) 称为变换的核。 常见的积分变换有傅立叶(Fourier)变换和 拉普拉斯(Laplace)变换。 傅立叶变换 记作： 其中，f(x) 在任一有限区间满足狄利克雷条件 (只有有限个第一类间断点和有限个极值)， 在 上绝对可积。 傅立叶逆变换 记作： 当 f(x) 连续时，有 傅立叶变换具有如下性质: 1)线性性质 对于任意常数 ， 2)微分运算性质 3)对傅立叶变换求导数 4) 卷积性质 令 反之， 5) 乘积运算 傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立了 一个对偶关系。 6) 平移性质 思考 设 u=u(x,y), 假如我们以 y 为参数, 对 x 作 傅立叶变换： 两个自变量的偏微分方程 带参量的常微分方程。 那么利用傅立叶变换的微分性质， 经过傅立叶 变换将得到 经过傅立叶变换得到 二阶导数类似。 例 用积分变换法解齐次方程： 解：考虑到自变量的取值范围，对 x 进行傅立叶 变换。设 方程转化为 于是 为了求出原方程的解,下面对 关于 进行 傅立叶逆变换. 根据傅里叶变换的微分性质， 例 用积分变换法解非齐次方程： 方程变为 解： 作关于 的傅立叶变换： 可解得 而 则 拉普拉斯变换 傅立叶变换要求函数 f 在 有定义并且绝对 可积。很多常见函数，如常数函数，多项式，三角 函数等都不满足条件。以时间 t 为自变量的函数 在区间 也无意义。这些都限制了傅立叶变 换的应用。为此引入拉普拉斯 (Laplace) 变换。 拉普拉斯变换的积分核为 在复参数 p 的某个区域内收敛。 记作： 若 f(t) 在 内的任一有限区间是分段连续的， 且存在常数 使得 则在半平面 Re(p) c 内，f(t)的拉普拉斯变换 F(p) 一定存在，且 F(p)还是 p 的解析函数。 拉普拉斯变换的存在条件： 基本性质(注意 p 的范围是复平面的一部分)： 1)基本变换: 2)线性性质 3) 微分性质 若 则 4) 积分性质 6) 位移性质 7) 延迟性质 5) 对拉普拉斯变换求导 8) 卷积性质 练习： 应用：拉普拉斯变换既适用于常微分方程 (如 P38 ), 也适用于偏微分方程。 例 解常微分方程的初值问题: 解：对 t 进行拉普拉斯变换, 设 答案： 则原方程变为 进行拉普拉斯逆变换, 考虑到 有 例：设 x0, y0, 求解定解问题 解：对 y 进行拉普拉斯变换。 则方程变为： 设 而 变为 解常微分方程得 取拉普拉斯逆变换，得 例：一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为0。求杆上温度分布规律。 解： 需要求解定解问题 思考：需要对哪一个自变量进行哪一种积分变换？ 对 t 进行拉普拉斯变换，设 于是方程变为 这是二阶常微分方程的边值问题，它的通解为 二阶方程，但是仅有 一个边界条件！ 考虑到具体问题的物理意义：u(x, t) 表示温度， 故 D=0. 再由边值条件 可知，C = F(p). 为求出 u(x,t), 需要对 U(x,p) 进行拉普拉斯 逆变换。 由拉普拉斯变换表知，