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北邮数理方程学习课件第三章分离变量法.doc

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第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题: (1) 解:分离变量,即令 (2) 代入方程((1)中第一式),得 (3) (4) 其中为分离常数。(2)式代入边界条件((1)中第二式),得 (5) 相应的本证值问题为求 (6) 的非零解.下面针对的取值情况进行讨论: (1)当时,(6)式中方程的通解是 (7) 其中A,B为积分常数,(7)代入(6)中边界条件,得 (8) 由(8)得A=B=0,得X(x)=0,为平凡解,故不可能有。 (2) 当时,(6)式中方程的通解是 由边界条件得A=B=0,得X(x)=0,为平凡解,故也不可能有。 (3)当 时,上述固有值问题有非零解.此时式(6)的通解为 代入条件(6)中边界条件,得 由于 ,故 ,即 从而得到一系列固有值与固有函数 与这些固有值相对应的方程(3)的通解为 于是,所求定解问题的解可表示为 利用初始条件确定其中的任意常数,得 故所求的解为 例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离,然后放手任其自由振动。设弦 长为,被拨开的点在弦长的(为正整数)处,拨开距离为,试求解弦的振动,即求解定解问题 解:将代入原方程及边界条件得 (1) (2) 解(2)第一式可得 由(2)的第二式得 , 将代入(1)并解得 由初始条件得 所以 从而 例3 求解细杆的导热问题,杆长,两端保持零度,初始温度分布. 解:该问题的定解问题为 (1) 令, 代入(1)第一式可得, (2) (3) 由(2)得 (4) 由(1)第三式可得 , 由得, 由,得, 于是有 ,, 因此 , 将作Fourier展开得 其中 于是 因此 例4 在矩形域 内求Laplace方程 (1) 的解,使其满足边界条件 解:令 ,代入式(1),有 (4) (5) 又由边界条件(3)得 (6) 当时,式(5)的通解为 由式(6)有 由此得 ,即式(5)、(6)无非零解. 当时,式(5)的通解为 由 ,得 . 当时,式(5)的通解为 由 得,由 得,得, 即 . 由此可见,本征值为 本征函数为 将的值代入式(4),解得 故问题的一般解为 (7) 由边界条件 得到 一个无穷级数等于零,说明各项系数均为零,故 (8) 又由得 将Ay展开成Fourier余弦级数,并比较系数有 故 (9) 从式(8)和(9)中解得 代入
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