§中值定理在讨论函数图形方面的应用.doc

§6中值定理在讨论函数图形方面的应用 [教学章节] 第六章微分中值定理——§6中值定理在讨论函数图形方面的应用 [教学目的] 使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图形. [教学要求] 掌握描绘图形的一般方法和，能够把握函数曲线的各种重要特征.熟练、正确地描绘出函数图形. [教学重点] 描绘函数的图形 [教学难点] 曲线各种特征的讨论 [教学方法] 演示例题 [教学程序] 引 言 在中学里，我们重要依赖描点作图画出一些简单函数的图形，一般来说，这样得到的图形比较粗糙，无法确切反映函数的性态（如单调区间，极值点，凸性区间，拐点等）. 这一节里，我们将综合应用在本章前几节学过的方法，再综合周期性、奇偶性、渐近线等知识，较完美地作出函数的图形. 一 曲线的渐近线 定义：若曲线上动点沿着曲线无限地远离原点时，点与某一固定直线的距离趋于零，则称直线为曲线的渐近线. 一般来说，曲线即便是无限延伸下去， 也不一定有渐近线，如：没有渐近线. 那么，到底在什么情况下有渐近线呢？如何求渐近线的方程呢？ 1、设曲线有渐近线，为了确定它，就必须求出其中的常数与.为此，如图： 考虑曲线上的动点到渐近线的距离 由渐近线定义，当（对时也有相应结果）时，，从而 （*） 或 （1） 而， （**） 故.（2） 从而如有斜渐近线则其中的、可由（1），（2）求得.反之，如由（1），（2）求得、，再由（*）、（**）式知.从而所得的确为曲线之渐近线.因此，求曲线的斜渐近线就化为求式（1）、（2）的极限了. 例：求曲线的渐近线. 解：? 故设，有 ?????????? ? 故得.从而求得曲线的渐近线方程为 2、若曲线在点存在垂直于轴的渐近线，则有或 .这时曲线的渐近线方程为，称它为垂直渐近线. 如上例中，由于，故当，时皆有，所以曲线有垂直渐近线，. 如图： 二、函数的作图 在中学里，我们所学的是描点作图法，首先求出几个点的坐标，然后把它们逐个连接起来，就得到曲线的图象.一般来讲，这样得到的图象比较粗糙，某些弯曲情形常不能确切反映，现在我们可以利用微分学工具，讨论函数的升、降、凸性、极值等等，再结合周期性、奇偶性等知识来作图. 作图的步骤如下： 1、确定函数的定义域； 2、考察函数的一些基本性质：如奇偶性、对称性、周期性等； 3、确定函数的某些特殊点，如与两坐标轴的交点、不连续点、不可导点等； 4、确定函数的单调区间、极值、凸性以及拐点； 5、确定渐近线； 6、根据以上讨论结果作图. 当然，不是每个函数作图都必须有这几个步骤，应据具体情况灵活掌握，但第4步总是不可少的. 例：讨论函数的性态，并作其图象. 解：⑴函数的定义域为； ⑵曲线与轴的交点为，与轴交点为； ⑶令解得， 当或时，，这时函数严格递增； 当或时，，这时函数严格递减. ⑷，当时，这时函数为凹函数； 当时，这时函数为凸函数； ⑸渐近线： ，所以直线是曲线的垂直渐近线. 又因为 ，即 所以直线为曲线的斜渐近线. 将⑶、⑷制表如下： ?? 不存在 ? ? ?? 不存在 ? 凹 极大 凹 无定义 凸 极小 凸 作图： 例：作由参数方程，所表示的平面曲线. 解：⑴可取任何实数值，但对任何的值，总有，； ⑵ 对是偶函数，对是奇函数.即在与时，对应的值相同，而值的绝对值相同符号相反，这表明图象关于轴对称，因此我们只须讨论的情形就够了. ⑶当时，，；时，，； ⑷，当时，这时曲线有垂直于轴的切线； 当时，这时曲线有稳定点； 故：时，严格递减；时，严格递增. ⑸ 曲线凸，且在时取得极小值. 综合上述结果，可作图如右： 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 兴义民族师范学院数学系 第 2 页 共 6 页