隐函数存在定理在几何方面的应用.ppt

*空间曲线的切线与法平面1设空间曲线C的参数方程为:2它们在可导,且3过曲线C上两点的割线方程为4取定曲线上一点5或当沿曲线C时,即割线的极限位置就是曲线在点的切线.则切线方程为切线的方向向量称为曲线C在点的切向量。一个平面通过空间曲线C上的一点且与点的切线垂直，称此平面是空间曲线C在点的法平面。在法平面上任取一点,则与切向量垂直．即法平面方程法平面方程是或例1求螺旋线在处的切线方程与法平面方程．解:切线方程法平面方程２．若空间曲线C是由函数方程组所确定．若方程组在曲线C上一定点的某邻域满足隐函数组定理的条件，即对的偏导数在点P的邻域内连续，不妨设且不同时为零，曲线C的参数方程为切向量利用分别对求偏导，求出则在点某邻域，曲线C可表示为解得从而可得曲线在点的切线方程：法平面方程例2求曲线在点法平面方程：切线方程：解处的切线及法平面方程。二、曲面的切平面与法线1.设曲面S的方程是,的切平面方程是则它的在点它在点可微,它的在点的法线方程是法向量设曲面S的方程是在曲面S上任取一点.满足函数确定的隐函数的条件，曲面S可表为则曲面在点M的切平面方程是则曲面S在点M的法线方程是若在点M例3求曲面上点的切平面的方程与法线方程.解切平面方程与法线方程分别为与３设曲面S的方程是取定对应曲面上的点若函数组满足11.1定理则在点的邻域存在连续偏导数的反函数组代入有曲面S在点M的法向量为３的推论，对u,v求偏导解方程组，得它的在点的切平面方程是法线方程是它在点例4求曲面在点对应的曲面上点的切平面方程与法线方程．解：点对应曲面上的点*