专题 正弦定理和余弦定理的应用备战高考理数热点题型和提分秘籍(原卷版).doc

【高频考点解读】 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【热点题型】 题型一 考查测量距离 例1、如图所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果． 【提分秘籍】求距离问题时要注意 (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解； (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 【举一反三】 隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距eq \r(3) km的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离． 【热点题型】 题型二 考查高度问题 例2、如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)(　　) A．2.7 m　　　　　　B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 【提分秘籍】求解高度问题首先应分清 (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角； (2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图； (3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用． 【举一反三】 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米． 【热点题型】 题型三 考查方位角 例3、如图，我国的海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处里一外国船只，且D岛位于海监船正东14eq \r(2)海里处． (1)求此时该外国船只与D岛的距离； (2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值． (参考数据：sin 36°52′≈0.6，sin 53°08′≈0.8) 【提分秘籍】 解决方位角问题其关键是弄清方位角概念．结合图形恰当选择正、余弦定理解三角形，同时注意平面图形的几何性质的应用． 【举一反三】 如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m km后在B处测量该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险． 【热点题型】 题型四 考查函数思想在解三角形中的应用 例4、如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？ 【提分秘籍】 函数思想在解三角形中常与余弦定理应用及函数最值求法相综合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要求考生要有一定的分析问题解决问题的能力． 解答本题利用了函数思想，求解时把速度表示为时间的函数，利用函数最值求法完成解答，注意函数中以eq \f(1,t)为整体构造二次函数，求最值． 【举一反三】 如图所示，已知树顶A离地面eq \f(21,2)米，树上另一点B离地面eq \f(11,2)米，某人在离地面eq \f(3,2)米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大． 【高考风向标】 1．（2014·天津卷）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝eq \f(1,4)a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________． 2．（2014·新课标全国卷Ⅱ）设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________． 3．（2014·广东卷）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos C＋ccos B＝2