专题六高考中的圆锥曲线问题.doc

专题六　高考中的圆锥曲线问题 1.已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点.若F2A＋F2B＝12，则AB＝________. 答案　8 解析　由题意知(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2) ＝AB＋AF2＋BF2＝2a＋2a， 又由a＝5，可得AB＋(BF2＋AF2)＝20，即AB＝8. 2.设AB为过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的弦，则AB的最小值为________. 答案　2p 解析　当弦AB垂直于对称轴时AB最短， 这时x＝，∴y＝±p，ABmin＝2p. 3.若双曲线－＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为________. 答案　2 解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±ay＝0，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2,0)，半径为r＝2，如图，由圆的弦长公式得弦心距|CD|＝＝，另一方面，圆心C(2,0)到双曲线－＝1的渐近线x－ay＝0的距离为d＝ ＝，所以＝，解得a2＝1，即a＝1，该双曲线的实轴长为2a＝2. 4.在抛物线y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是________. 答案　(1,2) 解析　如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，PF＝PN， ∴AP＋PF＝AP＋PN≥AN1， 当且仅当A、P、N三点共线时取等号. ∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1， ∴P点坐标为(1,2). 5.设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则·等于________. 答案　－ 解析　方法一　(特殊值法) 抛物线的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A(，1)，B(，－1)， ∴·＝·＝－1＝－. 方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则·＝x1x2＋y1y2. 由抛物线的过焦点的弦的性质知： x1x2＝＝，y1y2＝－p2＝－1. ∴·＝－1＝－. 题型一　圆锥曲线中的范围、最值问题 例1　(2012·浙江改编)如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y2＝2px(p0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上. (1)求曲线C的方程及t的值； (2)记d＝，求d的最大值. 思维启迪　(1)依条件，构建关于p，t的方程； (2)建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系，并表示弦AB的长度，运用函数的性质或基本不等式求d的最大值. 解　(1)y2＝2px(p0)的准线x＝－， ∴1－(－)＝，p＝， ∴抛物线C的方程为y2＝x. 又点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1. (2)由(1)知，点M(1,1)，从而n＝m，即点Q(m，m)， 依题意，直线AB的斜率存在，且不为0， 设直线AB的斜率为k(k≠0). 且A(x1，y1)，B(x2.y2)， 由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1， 所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)， 即x－2my＋2m2－m＝0. 由消去x， 整理得y2－2my＋2m2－m＝0， 所以Δ＝4m－4m20，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m. 从而AB＝ ·|y1－y2|＝· ＝2 ∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1， 当且仅当m＝1－m，即m＝时，上式等号成立， 又m＝满足Δ＝4m－4m20.∴d的最大值为1. 思维升华　圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值. 　已知点A(－1,0)，B(1,0)，动点M的轨迹曲线C满足∠AMB＝2θ，||·||cos2θ＝3，过点B的直线交曲线C于P，Q两点. (1)求||＋||的值，并写出曲线C的方程； (2)求△APQ面积的最大值. 解　(1)设M(x，y)，在△MAB中， AB＝2，∠AMB＝2θ， 根据余弦定理得 ||2＋||2－2||·||cos 2θ＝4. 即(||＋||)2－2||·||(1＋cos 2θ)＝4. (||＋||)2－4||·||cos2θ＝4. 而||·||cos2θ＝3， 所以(||＋||)2－4×3＝4. 所以||＋||＝4. 又||＋||＝42＝|AB|， 因此点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意)，a＝2，c＝1. 所以曲线C的方程为＋＝1. (2)设直线PQ的方程为x＝my＋1. 由 消去x并整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.① 显然方程①的Δ0，设P(x1，y