向量组线性组合ppt.ppt
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§4.1 向量组及其线性组合; (1)列向量用黑体小写字母a、b、?、?等表示? 行向量则用aT、bT、?T、?T等表示? 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时? 都当作列向量? ; (2)分量全为实数的向量称为实向量? 分量为复数的向量称为复向量? ;向量
n个有次序的数a1? a2? ??? ? an所组成的数组称为n维向量? 这n个数称为该向量的n个分量? 第i个数ai称为第i个分量? ; 在空间直角坐标系中? 点集
??{P(x? y? z)|ax?by?cz?d}
是一个平面(a? b? c不全为0)?
在三维向量空间中? 向量集
{ r | r?(x? y? z)T? ax?by?cz?d}
也叫做向量空间R3中的平面? 并把?作为它的图形? ; n维向量的全体所组成的集合
Rn?{ x | x?(x1? x2? ???? xn)T? x1? x2? ???? xn?R}
叫做n维向量空间? n维向量的集合
{x | x?(x1? x2? ???? xn)T? a1x1?a2x2? ??? ?anxn?b}
叫做n维向量空间Rn中的n?1维超平面? ;向量
n个有次序的数a1? a2? ??? ? an所组成的数组称为n维向量? 这n个数称为该向量的n个分量? 第i个数ai称为第i个分量? ;向量
n个有次序的数a1? a2? ??? ? an所组成的数组称为n维向量? 这n个数称为该向量的n个分量? 第i个数ai称为第i个分量? ;向量
n个有次序的数a1? a2? ??? ? an所组成的数组称为n维向量? 这n个数称为该向量的n个分量? 第i个数ai称为第i个分量? ;向量
n个有次序的数a1? a2? ??? ? an所组成的数组称为n维向量? 这n个数称为该向量的n个分量? 第i个数ai称为第i个分量? ;线性组合与线性表示
设A? a1? a2? ???? am是一向量组? 表达式
k1a1?k2a2? ??? ?kmam?
称为向量组A的一个线性组合? 其中k1? k2? ???? km是一组实数? 称为这线性组合的系数? ; 例1 设a1?(1? 1? 2? 2)T? a2?(1? 2? 1? 3)T? a3?(1? ?1? 4? 0)T? b?(1? 0? 3? 1)T? 证明向量b能由向量组a1? a2? a3线性表示? 并求出表示式? ;注?
; 因此? 若C?AB? 则
(1)矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示? ;提示?
; 若矩阵A与B列等价? 则这两个矩阵的列向量组等价? ;向量组的等价
若向量组B? b1? b2? ???? bl中的每个向量都能由向量组A? a1? a2? ???? am线性表示? 则称向量组B能由向量组A线性表示?; 例2 设a1?(1? ?1? 1? ?1)T? a2?(3? 1? 1? 3)T? b1?(2? 0? 1? 1)T? b2?(1? 1? 0? 2)T? b3?(3? ?1? 2? 0)T? 证明向量组a1? a2与向量组b1? b2? b3等价? ;定理3
设向量组B? b1? b2? ???? bl能由向量组A? a1? a2? ???? am线性表示? 则R(b1? b2? ???? bl)?R(a1? a2? ???? am)? ;§4.2 向量组的线性相关性 ;向量组的线性相关与线性无关
给定向量组A? a1? a2? ???? am? 如果存在不全为零的数k1? k2? ???? km? 使
k1a1?k2a2? ??? ?kmam?0?
则称向量组A是线性相关的? 否则称它线性无关? ;向量组的线性相关与线性无关
给定向量组A? a1? a2? ???? am? 如果存在不全为零的数k1? k2? ???? km? 使
k1a1?k2a2? ??? ?kmam?0?
则称向量组A是线性相关的? 否则称它线性无关? ;向量组的线性相关与线性无关
给定向量组A? a1? a2? ???? am? 如果存在不全为零的数k1? k2? ???? km? 使
k1a1?k2a2? ??? ?kmam?0?
则称向量组A是线性相关的? 否则称它线性无关? ;向量组的线性相关与线性无关
给定向量组A? a1? a2?
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