微积分学基本定理.ppt

六、小结 * §9.5 微积分学基本定理 物体所经过的路程显然有两种表达方式: 第一种: 第二种: 定义 定理9.9 证明: 补充 证 定理9.10 分析: 前提 只须 证明: (i) 解决了原函数的存在性问题 (ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系 (iii) 为寻找定积分的计算方法提供了理论依据 精僻地得出: 上的连续函数一定存在原函数,且 是 的一个原函数这一基本结论. 为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学 基本定理. 定理指出 是 的一个原函数,而 又是变上限 积分,故 比较变速直线运动中 共同点: 等式左端同是[ a , b ]上的定积分,等式右端又 都是原函数在[a , b ]上的增量. 定理9.11 分析: 前提条件 证明: 此式称为定积分的基本公式.又称牛顿----莱布尼兹公式 常表示为 例1 求 解 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 证 证 令 例4 求 原式 例5 设 , 求 . 解 解 例6 求 解 由图形可知 如果连续，、可导， 则的导数为 例2 设在内连续，且.证明函数在内为单调增加函数. 故在内为单调增加函数. 例3 设在上连续，且.证明 在上只有一个解. 在上为单调增加函数. 所以即原方程在上只有一个解. 在上规定当时，, 设在上连续，则与是的函数还是与的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？ 与都是的函数