27章几率波薛定谔方程.ppt

* 第二十七章 薛定谔方程　　 量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等价的理论 —— 矩阵力学和波动力学 . 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程 . 奥地利物理学家. 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学,并建立了量子力学的近似方法 . .. 薛定谔（Erwin Schrodinger，1887~1961） 一 、波函数 1、经典的波与波函数 电磁波 机械波 经典波为实函数 2、量子力学波函数（复函数） 描述微观粒子运动的波函数 微观粒子的波粒二象性 自由粒子能量 和动量 是确定的，其德布罗意频率和波长均不变 ， 可认为它是一平面单色波 .平面单色波波列无限长 ，根据不确定原理 ，粒子在 x方向上的位置完全不确定 . 一维自由粒子平面波函数 波函数的标准条件：单值的，有限的和连续的 . 某一时刻出现在某点附近在体积元 中的粒子的概率为 归一化条件 ( 束缚态 ) 某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为 3、波函数的统计意义 概率密度 表示在某处单位体积内粒子出现的概率. 正实数 二、薛定谔方程（1925 年） 1、自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子平面波函数 上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得 自由粒子　 一维薛定谔方程 2、对于在势场中作三维运动粒子薛定谔方程为： 为拉普拉斯算符 3、定态薛定谔方程 如势函数不是时间的函数，即 用分离变量法将波函数写为： 代入薛定谔方程得： 　方程左边只是空间坐标的函数，右边只是时间的函数，只有两边都等于一个常数等式才能成立 令这一常数为E ，则： 积分可得 ： 令左边也等于E 得到： 定态薛定谔方程 定态: 能量取确定值的状态 定态波函数 与时间无关 定义哈密顿算符 定义动量算符 定态薛定谔方程可简写为： 三、关于薛定谔方程若干问题的讨论 1、薛定谔方程是通过波函数的二阶偏微分方程来描写粒子运动状态随时间的变化，揭示出微观世界中物质运动的基本规律； 2、薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，只能由它解出的结果是否符合实验来检验它的正确性； 3、薛定谔方程是非相对论的方程。 四、应用 1、一维势阱问题 粒子势能 满足的边界条件 1）是固体物理金属中自由电子的简化模型； 2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来 . 意义 势阱中的粒子的薛定谔方程 其通解为： 由边界条件可得： 　一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 .