第0章：悖论与现代数学讲述.doc

悖论与现代数学 悖论 一．悖论：顾名思议就是违背道理的理论。 （i）指在逻辑上可以推导出相互矛盾的结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。 （ii）悖论就是导致矛盾但原因不明的推理。根据这一定义，一旦原因找到了，悖论也就不再是悖论了。 悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致。 悖论的成因极为复杂且深刻， 对它们的深入研究有助于数学、逻辑学、语义学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。—前430）提出，说希腊一位善跑的名将阿基里斯（Achilles）永远追不上一只乌龟，因为若乌龟的起跑点领先一段距离，阿基里斯必须首先跑到乌龟的出发点，而在这段时间里乌龟又向前爬了一段距离，如此直至无穷，这一推理显然与常识不符，你能用数学知识加以说明吗？ 2.“上帝与石头”：“如果说上帝是万能的，他能否创造出一块他举不起的石头”。 这是一个流传很广的悖论。如果说能，上帝遇到一块“他举不起来的大石头”，说明他不是万能；如果说不能，同样说明他不是万能。这是用结论来责难前提。 　　这个“全能者悖论”的另一种表达方法是：“全能的创造者可以创造出比他更了不起的事物吗？”’” 简化：我对先知说：“我说谎话。” 请问：我说的是真话还是假话？ 如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。“R是所有不包含自身的集合的集合R包含不包含R自身？ …….借助集合论的概念，我们可以建造数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了…….”。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动要了，这就是所谓的“第三次数学危机”。 Russell和其他一些人认为集合论悖论产生的原因在于所谓的“恶性循环”，也就是说一个集合中的某些元素的定义中用到了这个集合本身，每个集合论悖论中都有这样的定义存在. 为排除这样的“恶性循环”， Zermelo认为，对集合的概念必须加以限制，但没有一种有效的限制方法，所以应该采取相反的方法. 公理集合论是采用不加定义集合的概念，用公理来确定哪些是集合，也用公理来确定集合有哪些性质. 公理集合论消除了原集合论中的悖论 继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，1931年歌德尔（Kurt Godel ，1906－1978，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。数学的三个发展时期在人类的知识宝库中有三大类科学，即自然科学、社会科学、认识和思维的科学。自然科学又分为数学、物理学、化学、天文学、地理学、生物学、工程学、农学、医学等学科。数学是自然科学的一种，是其它科学的基础和工具。在世界上的几百卷百科全书中，它通常都是处于第一卷的地位。 ? 从本质上看，数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。或简单讲，数学是研究数与形的科学。对这里的数与形应作广义的理解，它们随着数学的发展，而不断取得新的内容，不断扩大着内涵。 ? ??? 数学来源于人类的生产实践活动，即来源于原始人捕获猎物和分配猎物、丈量土地和测量容积、计算时间和制造器皿等实践，并随着人类社会生产力的发展而发展。对于非数学专业的人们来讲，可以从三个大的发展时期来大致了解数学的发展。 　 一、初等数学时期 ? 初等数学时期是指从原始人时代到17世纪中叶，这期间数学研究的主要对象是常数、常量和不变的图形。 ? 在这一时期，数学经过漫长时间的萌芽阶段，在生产的基础上积累了丰富的有关数和形的感性知识。到了公元前六世纪，希腊几何学的出现成为第一个转折点，数学从此由具体的、实验的阶段，过渡到抽象的、理论的阶段，开始创立初等数学。此后又经过不断的发展和交流，最后形成了几何、算术、代数、三角等独立学科。这一时期的成果可以用“初等数学”(即常量数学)来概括，它大致相当于现在中小学数学课的主要内容。 ? 世界上最古老的几个国家都位于大河流域：黄河流域的中国；尼罗河下游的埃及；幼发拉底河与底格里斯河的巴比伦国；印度河与恒河的印度。这些国家都是在农业的基础上发展起来的，从事耕作的人们日出而作、日落而息，因此他们就必须掌握四季气候变迁的规律。游牧民族的迁徙，也要辨清方向：白天以太阳为指南，晚上以星月为向导。因此，在世界各民族文化发展的过程中，天文学总是发展较早的科学，而天文学又推动了数学的发展。 ? 随着生产实践的需要，大约在公元前300