概率论与数理统计习题1及答案.doc

PAGE  PAGE 17 概率论与数理统计习题及答案 习题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，  A=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”  B=“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次，  A=“第一次出现正面.” B=“至少有一次出现正面.” C=“两次出现同一面.” 【解】 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生； （3） A，B，C都发生； （4） A，B，C至少有一个发生； （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生； （7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生. 【解】（1） A （2） AB （3） ABC （4） A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC= (5) = (6) (7) BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪ (8) AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC 5.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（）. 【解】 P（）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)] =1?[0.7?0.3]=0.6 7.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 9.对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）==（）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P（A2）==()5 (3) 设A3={五个人的生日不都在星期日} P（A3）=1?P(A1)=1?()5 10. 从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率. 【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有种取法.因只有一件次品,所以从45个正品中取2个,共种取法;从5个次品中取1个,共种取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法为种,所以所求概率为. 11.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（nN）.试求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率.如果： （1） n件是同时取出的； （2） n件是无放回逐件取出的； （3） n件是有放回逐件取出的. 【解】（1） P（A）= (2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有种，n次抽取中有m次为正品的组合数为种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为种，故 P（A）= 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成 P（A）= 可以看出，用第二种方法简便得多. （3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有（N?M）n?m种取法，故 此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为，则取得m件正品的概率为 12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A={发生一个部件强度太弱} 13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥. 故 14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： （1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率. 【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2） (1) (2) (3) 15.掷一枚均匀硬币