有限元与数值方法讲稿 几何非线性有限元分析课件.doc

几何非线性有限元分析 8.1 大变形条件下的应变和应力度量 一．应变度量 结构的初始构型： P：， Q： t时刻的构型： P’：， Q’： 两种构型下的坐标可相互转化： * 拉各朗日（Lagrange）描述 基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标为基本未知数，描述各个量。 * 欧拉（Eular）描述 基于变形后的构型表述变形前的构型。以变形后的各点坐标为基本未知数，描述各个量。 根据以上变换： ， 定义： ， PQ线段的长度： P’Q’变形后的长度： , Green-Lagrange 应变（Green应变） , Almansi 应变 定义位移向量： ， Green 应变 Almansi 应变 在小应变情况下： 工程应变 Cauchy应变 二．应力度量 欧拉应力张量（Green应力张量）： 表示变形后的构型的三个坐标面上的应力构成的张量。是对称张量 变形后表面上的应力：， 变形前的应力： 需要确定变形前、后的相应面上的力之间的关系。两种确定方法： Lagrange规定： Kirchhoff规定： 与坐标变换规律相同： ， ：第一类Piola-Kirchhoff应力（Lagrange应力张量），非对称 ， ：第二类Piola-Kirchhoff应力。Kirchhoff应力张量，对称 各种应力张量之间的关系： （1）由质量守恒： （2）， （3）， （4） 注意：是非对称张量，是对称张量。  8.2 几何非线性问题的表达格式 虚位移原理（虚功原理）： 虚功原理的初始参考构型表示形式： 为了便于求解：将应力和应变分解成： 从t到时刻引起的应力增量 从t到时刻引起的应变增量 将应变增量进一步分解： 平衡方程的线性化 物理方程的线性化： 对于弹性材料，该关系式准确的。如果是小变形，则有 材料的弹性常数张量。 求解格式的进一步线性化： 带入虚功方程， 可获得用位移和应变表示的虚功方程： 8.3 有限元求解方程及解法 一．有限元方程： 静力问题： 按照一般的有限元法的基本思想，将结构离散成有限单元，每个单元中，选择相应的形函数，将节点坐标、位移等相应的量，通过形状函数与单元的节点上的坐标值、位移相联系。 坐标：，， 位移：， 代入虚功原理： ， ， 经过集成后，可获得有限元控制方程： 该方程是一个非线性方程组。其非线性体现在刚度系数矩阵上。在时间步中，刚度矩阵是切线模量。这与物理非线性问题是相同的。 另一方面，右端项与待求的位移增量{u}相关。这也造成了非线性。 求解方法：可采用求解物理非线性问题的方法求解。 三．有限元方程的解法 基本思想：在每个时间步中，采用非线性方程的求解方法，进行迭代求解。这些方法包括：直接迭代法；N－R方法等。 因此，几何非线性问题的求解包括两层迭代（循环）； 外层循环（迭代）：对时间步迭代（荷载增量步） 内层循环：求解各时间步导出的非线性方程，通过迭代求解该时间步后的相应。 四．平衡路径的追踪方法：弧长法 8.4 稳定性问题 初始稳定性问题（初始屈曲等） 稳定性控制方程（屈曲方程） 非线性方程： 稳定性问题：在一定的荷载条件下，结构处于平衡状态。在荷载不增加的条件下，是否存在另一状态？ 从数学上说，如果位移{u}对应平衡状态，在荷载不变的条件下，位移有一个小的扰动，是否也能够处于平衡状态？ 也就是：，是否有非零解？ 注意：非线性刚度矩阵是由初始内力形成的刚度矩阵。初始内力的大小与外荷载相关。如果讨论的是初始屈曲问题，则初始内力与外荷载成正比。例如，梁的屈曲问题，则内力与轴向荷载p成正比。此时，。 失稳条件： 求解上述方程，可求出失稳荷载。 1