第三章稳定性分析.doc

控制系统的李亚普诺夫稳定性 主要内容： 李亚普诺夫稳定性概念 稳定性定理 系统稳定性分析 非线性系统稳定性分析 难点：李亚普诺夫函数的构造 §3.l 李亚普诺夫第二法的概述 3.1.1物理基础 系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后，系统偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性，用数学方法表示就是 式中为系统被调量偏离其平衡位置的大小；为任意小的规定量。 物理事实：如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即，那么随着系统的运动，其贮存的能量将随着时间增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。 基本思想：李亚普诺夫引入了“广义能量”函数，称之为李亚普诺夫函数，表示为 V(x,t)，它是状态和时间t的函数。对定常系统，“广义能量”函数则为V(X)。 如果考察的动态系统是稳定的，当存在对任意（平衡点）时，成立，且对时，才有。 关键:能否找到一个合适的李亚普诺夫函数。 数学基础:二次型及其定号性。 3.1.2二次型及其定号性 1．二次型 n个变量的二次齐次多项式为 称为二次型。式中，是二次型的系数。 设，既对称且均为实数。 用矩阵表示二次型较为方便，即 必须指出，二次型是一个标量，最基本的特性就是它的定号性，也就是V(X)在坐标原点附近的特性。 (1)正定性 当且仅当X=0时，才有V(X)=0；对任意非零X，恒有V(X)0，则V(X)为正定。 (2)负定性 如果V(X)是负定的,或仅当X=0时，才有V(X)=0；对任意非零X，恒有V(X)0,则V(X)为负定。 (3)正半定性与负半定性 如果对任意，恒有，则V(X)为正半定或称准正定。 如果对任意，恒有，则V(X)为负半定或称准负定。 (4) 不定性 如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X)可为正值也可为负值，则V(X)为不定。 2. 赛尔维斯特准则 ①二次型或对称矩阵P为正定的充要条件是P的主子行列式均为正，即 如果 则P为正定，即V(X)正定。 ②二次型或对称阵P为负定的充要条件是P的主子行列式满足；。 §3．2 李亚普诺夫意义下的稳定性 3.2.1平衡点的概念 系统描述为 式中 X为n维状态向量。 当在任意时间都能满足 （3.1） 时称为系统的平衡状态。凡满足式(3．1)的一切值均是系统的平衡点，对于线性定常系统 A为非奇异时，X=0是其唯一的平衡状态；对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。 由式(3．1)可知，在系统的平衡点，状态变量的变化率为0，由古典控制理论知道，该点即为奇点，因此，系统微分方程式的奇点代表的就是系统在运动过程中的平衡点。 任何彼此孤立的平衡点，均可以通过坐标的变换，将其移到坐标原点，这就是经常以坐标原点作为平衡状态来研究的原因，因此常用的连续系统的平衡状态表达式为 3.2.2李亚普诺夫定义下的稳定性 下面用二维空间图3．1来说明李亚普诺夫定义下的稳定性。 1．稳定与一致稳定 设为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域或任意正实数，都可找到另一个正实数或球域，当初始状态X0满足时，对由此出发的X的运动轨迹有，则此系统为李亚普诺夫意义下的稳定。如果与初始时刻t0无关，则称平衡状态为一致稳定。 2．渐近稳定和一致渐近稳定 设为动力学系统的孤立平衡状态，如果它是稳定的，且从充分靠近的任一初始状态X0出发的运动轨迹有 或，即收敛用于平衡状态，则称平衡状态为渐近稳定。如果与初始时刻t0无关，则称平衡状态为一致渐近稳定。渐近稳定性等价于工程意义上的稳定性。 如果对状态空间中的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性。即对所有点都成立，称平衡状态为大范围渐近稳定。可见，这样的系统只能有一个平衡状态。由于线性定常系统有唯一解，所以如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定也是大范围内渐近稳定的。 在控制工程中，确定大范围内渐近稳定的范围是很重要的，因为渐近稳定性是个局部概念，知道渐近稳定的范围，才能明确这一系统的抗干扰程度，从而可设法抑制干扰，使它满足系统稳定性的要求。 3．不稳定 如果平衡状态既不是渐近稳定的，也不是稳定的，当并无限增大时，从X0出发的运动轨迹最终超越域，则称平衡状态为不稳定的。 §3．3 李亚普诺夫稳定性定理 定理3．1 设系统的状态方程为 式中，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：