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高等动力学 中国矿业大学力建学院力学系 李毅 目 录 第三章 运动稳定性基础 §3-1 基本概念 §3-2 相平面方法 §3-3 李雅普诺夫直接方法 §3-4 一次近似稳定性理论 §3-5 机械系统的稳定性 3. 拉格朗日定理 在§3-2中给出了单自由度保守系统稳定性的拉格朗日定理。利用李雅普诺夫直接方法，可以进一步证明，拉格朗日定理也适用于任意自由度的保守系统系统。 取系统的哈密顿函数 H=T+V 为李雅普诺夫函数，其中动能为广义速度的正定二次齐次函数，将平衡位置作为势能的零点。若势能在V平衡位置取孤立极小值，则 V为广义坐标的正定函数。因此 H=T+V为正定函数。 由于保守系统存在能量积分，T+V均为常数，其沿扰动方程的解曲线的全导数必等于零。根据李雅普诺夫的定理一，平衡位置稳定。 拉格朗日定理：若势能V在平衡位置取孤立极小值，则保守系 统的平衡稳定。 切塔耶夫定理：若势能V在平衡位置取孤立极大值，且V为广 义坐标的二次齐次函数，则保守系统的平衡不稳定。 §3-4 一次近似稳定性理论 李雅普诺夫直接方法理论上适用于一切非线性系统，但由于缺乏普遍适用的构造李雅普诺夫函数的方法，因此，实际应用时存在不少困难。 线性系统已经发展的十分完善。将非线性系统近似化为线性系统，称为一次近似系统。能否用一次近似系统的稳定性分析代替非线性系统的稳定性分析，需要研究。 本节首先研究线性系统的稳定性准则，然后给出李雅普诺夫一次近似理论。 1. 线性系统的稳定性准则 由于线性微分方程组的通解是由基本解的线性组合构成，因此方程组（3.4.3）的零解稳定性可根据特征值的实部符号判定。归纳为以下定理。 线性方程组稳定性准则 定理一：若所有特征值的实部为负，则线性方程组的零解渐近稳定。 定理二：若至少有一特征值的实部为正，则线性方程组的零解不稳定。具有正实部的特征值数目称为不稳定度。 定理三：若存在零实部的特征值，且为单根，其余根无正实部，则线性方程组的零解稳定，但不是渐近稳定。若为重 根， 则零解不稳定。 2. 李雅普诺夫一次近似理论 以上三定理适用于线性系统，李雅普诺夫证明，在一定条件下，从一次近似方程的稳定性推断原方程的稳定性。归纳为以下定理。 定理一：若一次近似方程的所有特征值的实部为负，则原线性方程组的零解渐近稳定。 定理二：若一次近似方程至少有一特征值的实部为正，则原方程组的零解不稳定。 定理三：若一次近似方程存在零实部的特征值，其余根无正实部，则不能判断原方程组的零解稳定性。 定理一和定理二与线性系统相同，定理三为临界情况，线性系统能判断稳定与否。但非线性系统不行，此时非线性系统的稳定性在很大程度上取决于略去的高次项。 * * 2-1 2-2 §3-1 基本概念 2-3 稳定：受扰运动与未扰运动相差不大。 不稳定：受扰运动与未扰运动相差大。 1. 扰动方程 2. 李雅普诺夫稳定性定义 李雅普诺夫稳定性的定义基于以下条件：在同一微分方程支配下，受扰运动仅由初扰动引起，在初扰动后，系统不再受其他扰动，且受扰运动与未扰运动在 t→∞无限时间内的同一时刻进行比较。 轨道稳定性只要求受扰运动轨道与未扰运动轨道充分接近，但同一时刻两者可能相距甚远。 §3-2 相平面方法 不显含时间 t 的系统称为自治系统。对单自由度自治系统，其运动过程可由相平面内的轨迹来描述。 系统平衡对应相迹为奇点。 根据李雅普诺夫稳定性的几何解释，可从奇点的不同类型，确定奇点附近的相迹走向，从而确定系统平衡状态的稳定性。这种直观的几何方法称为相平面方法。 1. 保守系统的能量积分 2. 相轨迹特性 每一条相迹代表系统的一种可能的运动状态。所有相迹代表所有可能的运动状态，也包括平衡状态。考虑到初始条件的连续性，相轨迹一般来说可以充满相平面（整个或局部） 。获得相轨迹可由运动方程亦可由上述方程。 显然，平衡状态的相迹为一个点，反之，相轨迹退化为一个点时（称为奇点），对应于一个平衡状态。 研究平衡状态的稳定性，可由奇点的特征获得。因为根据李雅普诺夫稳定性定义，扰动引起的相迹改变在奇点的附近（邻域），称为（平衡）稳定。因此 “中心”　对应于稳定平衡状态 “鞍点”　对应于不稳定平衡状态 奇点分类： （1）中心，指奇点周围的相迹为围绕奇点的类型 （2）鞍点，指奇点周围的相迹有不围绕奇点的类型 根据相迹方程（3.2.4），相迹奇点的类型可由势能函数V(x)获得。总结如下： 拉格朗日定理