垂径定理的应用解说.ppt

24.1 圆的有关性质 垂径定理的应用 学习目标 1、通过对典型习题的学习，进一步理解垂径定理及 其推论，并能应用垂径定理解决相关数学问题. 2、让学生体会分类讨论思想、方程思想、数形结合 思想在解题中的应用. 3、通过练习，形成解题的建模思想。 复 习 1、垂径定理的内容是什么？结合图形如何叙述？ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD是☉O的直径，AB是弦， 且CD⊥AB,垂足为M . ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM=BM , AD =BD , AC=BC 复 习 2、垂径定理的推论内容是什么？ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧. 为什么要强调 “弦不是直径”？ O M N A B 平分弦的直径垂直于弦× 3、如图所示，在☉O中，直径MN⊥弦AB，垂足为C，则下列结论中错误的是(　　) A.AC=CB　　B. = C. = D. OC=CN 4、半径为3的圆中,一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是 。 复 习 D 1、如图所示，等腰△AOB中OA=OB，☉O与边AB交于C,D两点，求证：AC=BD. 典例讲解 【思路点拨】 证明圆中与弦有关的线段相等时，可综合运用垂径定理和等腰三角形的性质，证明圆中与弦有关的线段相等. 证明：过点O作OE⊥AB于E, 由垂径定理得CE=DE, 又∵OA=OB, ∴AE=BE, ∴AE-CE=BE-DE,即AC=BD. E 求证：AC=BD. 3、如图所示,某窗户是由矩形和弓形组成,已知弓形的跨度AB=3m,弓形的高EF=1m,现计划安装玻璃，请帮工程师求出 所在圆O的半径r. 典例讲解 解：由题意知OA=OE=r,又OE⊥AB, ∴AF= AB= ×3= (m). 在Rt△OAF中,OF2+AF2=OA2,FO=(r-1)m 即(r-1)2+ =r2, 解得r= m.即圆O的半径为 m. 【思路点拨】 1、应用垂径定理计算的关键是寻找弦的一半、半径和圆心到弦的垂线段为边的直角三角形，利用勾股定理求解. 2、已知弦长和弓形的高求半径，通常列方程解答。 跨度AB=3m,弓形的高EF=1m, 求半径r. 3、☉O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的 一个动点，则OP长的取值范围为 。　　　　　　. 典例讲解 讨论：使OP长为整数值的点P有多少个？ 1、半径为3cm的圆中,圆心到一条弦的 距离是1cm，则这条弦长是 。 2、如图,☉O半径长2cm，弦AB= cm，则∠AOB等于 . 习题练习 A B O C 3、如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m,则水面宽AB为(　　) A.4 m　　　B.5 m　　　C.6 m　　　D.8 m 习题练习 4、如图，AB是☉O的直径，作半径OA的垂直平分线，交☉O于C,D两点，垂足为H，连接BC、BD. (1)求证：BC=BD. (2)已知CD=6，求☉O的半径长. 习题练习 1、在解决有关弦、半径(直径)、圆心到弦的距离等问题时，通常是通过构造直角三角形将垂径定理和勾股定理结合起来，化圆中问题为三角形问题. 2、圆中经常作辅助线——连半径、作弦的垂线. 课堂小结 课本90页第10、12、13题 布置作业