广义逆矩阵A^-的计算方法及应用.pdf

第 30卷第 6期 大 学 数 学 Vo1．30，№ ．6 2014年 12月 COLLEGEM ATHEM ATICS Dec．2014 广义逆矩阵A一的计算方法及应用 戴中林 (西华师范大学 数学与信息学院 四川 南充 637002) [摘 要]根据广义逆矩 阵(减号逆)的定义 AA—A—A，给出了求任意矩 阵A 的一个或全部广义逆矩阵 A一的计算方法．当A一为 A的全部广义逆矩 阵时 ，得 出了矩 阵方程 (或线性方程组)Ax B的统一通解 公式 X —A—B． [关键词]广义逆矩阵；初等变换 ；矩阵方程 ；通解 [中图分类号]0151．21 [文献标识码]C [文章编号]1672—1454(2014)06—0056—04 众所周知，求解矩阵方程AX=B时，当A为可逆方阵，则解x—A_。B；当A为不可逆方阵或为长方 矩阵时，A 失去意义．为此我们利用广义逆矩阵A (减号逆)的概念 ]，将求逆矩阵运算进行推广 ，使 得无论A是何种矩阵，A一均有意义．这时矩阵方程AX=B的解都为X—A—B，当A一为A的全部广义 逆时，X=A—B为通解．特别地 ，当B为 维列向量时，该解即为线性方程组Ax一口的通解． 1 广义逆矩阵A一(减号逆)的定义 定义 设矩阵A为m×扎矩阵，若存在 ×771矩 阵G，使得 AGA—A，则称 G为A 的一个广义逆矩 阵，记为G=A一．即有AA—A—A． 一 般情况下 ，满足定义的A一不是唯一的．一般可求出矩阵A的一个或全部广义逆矩阵． 2 广义逆矩阵A一的计算方法 例2．·已知行满秩矩阵A一( )，求A一． A一一A cAA (][(2)(]]～一V[282]． [收稿 日期]2014—03—06 第6期 戴 中林 ：广义逆矩阵A一的计算方法及应用 57 2．2 求矩阵A的全部广义逆A一的初等变换法 应用矩阵的初等变换法可求矩阵 A的全部广义逆矩阵A一．首先给出一个 引理 ，为证 明时简便清 楚 ，不妨设R：==(E， 0)mXn，其中E，是r阶单位矩阵． 引理 矩阵R一 (E 0)的广义逆矩阵为其转置矩阵 ，即R ===R ． 证 由广义逆定义 即得 叶 ， RR R ／E 、 一(E 0)I l(E，0)一(E 0)一R． 即 R一一R ． 定理2．2 设 m× 阶矩阵A 的秩为rO，对矩阵A先后进行行及列的初等变换 ，即存在m 阶可逆 矩阵P与阶可逆矩阵Q，使得PAQ—R===(三)，则A的一个广义逆矩阵为A一一QRP，其中Rr是 R的转置矩阵． 证 设 × 阶矩阵A 的秩为rO，对矩阵A先后进行行及列 的初等变换 ，故存在 阶可逆矩阵 P与n阶可逆矩阵Q，使得PAQ—R一( )，故A=P~RQ．由广义逆定义AAA：A,有 P～RQ一A—P一RQ一一P一RQ一， 且Ⅱ R(Q一A—P一)R—R． 由广义逆的定义及引理得 Q A—P-1一R —R ，即得 A一一QRP． 定理 2．3 矩阵A 的全部广义逆矩阵为 fE Y1] 一QIYy。 其中l，，l，，y。为 自由未知量矩阵 ，总共包含 m ·—r个 自由未知量． 证由定理2．2有A=P1(三)Q，且当A—Qf妻≥1P时，由广义逆矩阵定义有 一 Q