计算方法(二)矩阵变换和计算.ppt

常用的条件数为 分别称为矩阵A的∞-条件数、1-条件数和2-条件数． 为矩阵的算子范数， 定义设A为非奇异矩阵， 则称 为矩阵A的条件数。 矩阵的条件数具有如下的性质： (1) (2) (3) , , (4) 如果U为正交矩阵，则 越大，解的相对误差可能越大，A对求 解线性方程组来说就越可能呈现病态． 反之， 越小，解的相对误差越小， 越呈现良态． 下面给出两个与条件数有关的定理 定理1 设 Ax = b，A为非奇异矩阵，b为非零 向量且 A 和b均有扰动． ，则 使得 非常小, 若A的扰动 定理2 设Ax=b，A为非奇异矩阵，b为非零向量，则方程组近似解 的事后估计式为 其中 称为近似解 的余量，简称余量。 2.1 矩阵的三角分解及其应用 2.1.5 矩阵的QR分解 如何利用直接法求解一些病态方程组？ Gauss消去过程实际上是用一系列具有特定结构的单位下三角矩阵将A逐步上三角化的过程．由矩阵的条件数定义可以看出，正交矩阵是性态最好的矩阵，如果我们能用正交矩阵代替Gauss消去过程中的单位下三角矩阵，即 = 则 ,计算知 ,因此变换后所得的矩阵U的条件数不变，故该计算过程具有数值稳定性． 在线性代数中，曾证明了若方阵 且 ，则存在正交阵Q 和对角元都大于零的上三角阵R，使得 , 而且对任意非零向量 ，必有正交阵Q 使 ． 如果 使用同样的方法可以证明（即将A分解成） 其中 为对角元大于零的上三角阵．上式称为矩阵A的 分解．由于 ，因此这种分解的实现在矩阵计算中是非常重要的． 为实现矩阵一般的 分解，我们引入Householder矩阵． 定义2.4 设 ，称初等矩阵 为Householder矩阵（简称H阵），或称Householder变换矩阵． 显然Householder矩阵矩阵具有如下性质： (1) ,即H阵为对称阵； (2) ，即H阵为正交阵； (3)如果 ，则 ; (4)设 且 ，取 ，则 性质3亦称镜面反射变换，其几何意义如下： 注： ，这种直接法的数值稳定性要比 分解好，但是 分解的计算量远远大于 分解，因此， 分解只适用于求解病态线性方程组。 利用一系列H 阵可将A 分解成 的形式． 例 利用Householder变换求A的QR分解，其中 解 将A按列分块为 其中 取 ，则 ,令 其中 ，取 令 则 令 从而 则 。 2.2 特殊矩阵的特征系统 本节将介绍理论上和特征系统计算上非常重要的矩阵分解，即Schur分解． 酉阵U 使得 定理 2.7 (Schur定理) 设 A ，则存在 其中R 为上三角矩阵。 酉阵: (复正交矩阵， )，例如， R 通常称为A的Schur标准型。 于一个以其特征值为对角元的上三角矩阵R。 也称为矩阵的Schur分解 Schur定理还可以表示为：任意n阶方阵酉相似 定义2.5 设 ，若 则称矩阵A为正规矩阵． Hermite阵： 实对称矩阵： 斜Hermite阵： 实反对称矩阵： 酉阵: 正交矩阵: 均为正规矩阵。 常见的有： 的充分必要条件是存在n阶酉阵U，使得 推论 2.1 设 A为n阶方阵， 则A为正规矩阵 其中D 为对角矩阵。 * 即 由 的定义知 = = 从而，记 和 显然， 和 分别与 结构相同,只是下三 角部分的元素进行相应的对调。 令 进一步，得 则有 这样，我们得到另一种形式的矩阵分解： 一般地,如果A为n阶方阵，进行Gauss列主元消去过程为 类似的，可以改写成 其中， （k=1,2,…,n-2） 为与Lk的结构相同，只是下三角部分元素经过了对调。因此，令 则 定理 对任意n阶矩阵A，均存在置换矩阵P、单位下三角矩阵L和上三角矩阵U，使得 。 例 用Gauss列主元消去法解如下方程组并给出 PA=LU分解。 解： 用回代法求的解得： 即 下面求相应的PA=LU分解 第一次选列主元，交换第1行和第3行， 左乘置换矩阵