计算方法(二)矩阵变换和计算.ppt
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常用的条件数为 分别称为矩阵A的∞-条件数、1-条件数和2-条件数. 为矩阵的算子范数, 定义设A为非奇异矩阵, 则称 为矩阵A的条件数。 矩阵的条件数具有如下的性质: (1) (2) (3) , , (4) 如果U为正交矩阵,则 越大,解的相对误差可能越大,A对求 解线性方程组来说就越可能呈现病态. 反之, 越小,解的相对误差越小, 越呈现良态. 下面给出两个与条件数有关的定理 定理1 设 Ax = b,A为非奇异矩阵,b为非零 向量且 A 和b均有扰动. ,则 使得 非常小, 若A的扰动 定理2 设Ax=b,A为非奇异矩阵,b为非零向量,则方程组近似解 的事后估计式为 其中 称为近似解 的余量,简称余量。 2.1 矩阵的三角分解及其应用 2.1.5 矩阵的QR分解 如何利用直接法求解一些病态方程组? Gauss消去过程实际上是用一系列具有特定结构的单位下三角矩阵将A逐步上三角化的过程.由矩阵的条件数定义可以看出,正交矩阵是性态最好的矩阵,如果我们能用正交矩阵代替Gauss消去过程中的单位下三角矩阵,即 = 则 ,计算知 ,因此变换后所得的矩阵U的条件数不变,故该计算过程具有数值稳定性. 在线性代数中,曾证明了若方阵 且 ,则存在正交阵Q 和对角元都大于零的上三角阵R,使得 , 而且对任意非零向量 ,必有正交阵Q 使 . 如果 使用同样的方法可以证明(即将A分解成) 其中 为对角元大于零的上三角阵.上式称为矩阵A的 分解.由于 ,因此这种分解的实现在矩阵计算中是非常重要的. 为实现矩阵一般的 分解,我们引入Householder矩阵. 定义2.4 设 ,称初等矩阵 为Householder矩阵(简称H阵),或称Householder变换矩阵. 显然Householder矩阵矩阵具有如下性质: (1) ,即H阵为对称阵; (2) ,即H阵为正交阵; (3)如果 ,则 ; (4)设 且 ,取 ,则 性质3亦称镜面反射变换,其几何意义如下: 注: ,这种直接法的数值稳定性要比 分解好,但是 分解的计算量远远大于 分解,因此, 分解只适用于求解病态线性方程组。 利用一系列H 阵可将A 分解成 的形式. 例 利用Householder变换求A的QR分解,其中 解 将A按列分块为 其中 取 ,则 ,令 其中 ,取 令 则 令 从而 则 。 2.2 特殊矩阵的特征系统 本节将介绍理论上和特征系统计算上非常重要的矩阵分解,即Schur分解. 酉阵U 使得 定理 2.7 (Schur定理) 设 A ,则存在 其中R 为上三角矩阵。 酉阵: (复正交矩阵, ),例如, R 通常称为A的Schur标准型。 于一个以其特征值为对角元的上三角矩阵R。 也称为矩阵的Schur分解 Schur定理还可以表示为:任意n阶方阵酉相似 定义2.5 设 ,若 则称矩阵A为正规矩阵. Hermite阵: 实对称矩阵: 斜Hermite阵: 实反对称矩阵: 酉阵: 正交矩阵: 均为正规矩阵。 常见的有: 的充分必要条件是存在n阶酉阵U,使得 推论 2.1 设 A为n阶方阵, 则A为正规矩阵 其中D 为对角矩阵。 * 即 由 的定义知 = = 从而,记 和 显然, 和 分别与 结构相同,只是下三 角部分的元素进行相应的对调。 令 进一步,得 则有 这样,我们得到另一种形式的矩阵分解: 一般地,如果A为n阶方阵,进行Gauss列主元消去过程为 类似的,可以改写成 其中, (k=1,2,…,n-2) 为与Lk的结构相同,只是下三角部分元素经过了对调。因此,令 则 定理 对任意n阶矩阵A,均存在置换矩阵P、单位下三角矩阵L和上三角矩阵U,使得 。 例 用Gauss列主元消去法解如下方程组并给出 PA=LU分解。 解: 用回代法求的解得: 即 下面求相应的PA=LU分解 第一次选列主元,交换第1行和第3行, 左乘置换矩阵
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