ch误差估计数值分析.PPT

第五章线性方程组直接解法 本讲内容 向量范数 向量范数 范数性质 范数性质 矩阵范数 矩阵范数 算子范数 矩阵范数性质 算子范数性质 算子范数性质 病态矩阵 病态矩阵 条件数性质 举例 注 * * * * —— 误差估计 向量范数 矩阵范数 向量范数的定义 常见的向量范数 向量范数的性质 矩阵范数的定义 F-范数与算子范数 矩阵范数的性质、算子范数的性质 误差估计 设函数 f : Rn ? R，若 f 满足 f(x) ? 0，? x?Rn , 等号当且仅当 x = 0 时成立 f(?x) = |?| · f(x) ， ? x?Rn , ? ??R f(x+y) ? f(x) + f(y) 则称 f 为 Rn 上的（向量）范数，通常记为 || · || 方程组的解为一组数，称为解向量，近似解向量与准确解向量之差称为误差向量，为了估计误差向量的大小，以及在迭代法讨论收敛性的需要，首先需引入衡量向量与矩阵大小的度量——范数。 常见的向量范数 ③ 无穷范数（最大范数） ② 2-范数 Euclid范数。 ① 1-范数 范数的性质 (1) 连续性 设 f 是 Rn 上的任意一个范数，则 f 关于 x 的每个分量是连续的 (2) 等价性 设 || · ||s 和 || · ||t 是 Rn 上的任意两个范数，则存在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 x?Rn 有 (3) Cauchy-Schwarz 不等式 (4) 向量序列的收敛性 设函数 f : Rn?n ? R，若 f 满足 f(A) ? 0，? A? Rn?n , 且 f(A) = 0 ? A = 0 f(?A) = |?| · f(A) ， ? A?Rn , ? ??R f(A+B) ? f(A) + f(B) f(AB) ? f(A)f(B) 则称 f 为 Rn?n 上的（矩阵）范数，通常记为 || · || 矩阵范数 常见的矩阵范数 (1) F-范数 (Frobenious 范数) (2) 算子范数 (从属范数、诱导范数) 其中 || · || 是 Rn 上的任意一个范数 常见的算子范数 ③ 无穷范数（行范数） ② 2-范数（谱范数） ① 1-范数（列范数） 例：设 计算 矩阵范数的性质 (1) 连续性：设 f 是 Rn?n 上的任一矩阵范数，则 f 关于 A 的每个分量是连续的 (2) 等价性：设 ||·||s 和 ||·||t 是 Rn?n 上的任意两个矩阵范数，则存在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 A? Rn?n 有 定理：（相容性条件）设 || · || 是 Rn 上的任一向量范数，其对应的算子范数也记为 || · || ，则有 算子范数的性质 定理：设 || · || 是任一算子范数，则 定理：设 || · || 是任一算子范数，若 ||B||?1 ，则 I±B 非奇异，且 考虑线性方程组 Ax=b，如果 A 或 b 的微小变化会导致解的巨大变化，则称此线性方程组是病态的，并称矩阵 A 是病态的，反之则是良态的。 病态矩阵 例： 定理：考虑线性方程组 Ax=b，设 A 是精确的，b 有微小的变化 ?b，此时的解为 x + ?x ，则 病态矩阵 设方程组 AX=b+δb 的解为 即 ②-①得 即 于是有 另一方面，由①得 且 故 ② ③ ④ 由③与④有 定理：考虑线性方程组 Ax=b，设 b 是精确的，A 有微小的变化 ?A，此时的解为 x + ?x ，则 当 ?A 充分小时，不等式右端约为 分析表明，数 反映了方程组AX=b的解对初始数据A，b扰动的灵敏度，可用来刻画方程组的病态程度。 矩阵的条件数 定义：设 A 非奇异，则称 为 A 的条件数。 矩阵条件数 条件数与范数有关，常用的有无穷范数和2-范数 Cond(A)2 称为谱条件数，当 A 对称时有 矩阵条件数 条件数的性质 Cond(A)?1 Cond(?A)=Cond(A), 其中 ? 为任意非零实数 若 R 是正交矩阵，则 Cond(R)2=1 若 R 是正交矩阵，则对任意非奇异矩阵 A，有 Cond(AR)2=Cond(RA)2=Cond(A)2 例：计算 Cond(Hk)? 其中 H 为 Hilbert 矩阵 解： k=1 时， Cond(H1)?=1 k=2 时， Cond(H2)?=27 k=3 时， Cond(H3)?=748 Cond(H4)?=28375 Cond(H10)?=3.5?101