第1章重庆大学矢量分析.ppt

第一章 矢量分析;本章内容 1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理;1. 标量和矢量;矢量用坐标分量表示;（1）矢量的加减法;（2）标量乘矢量;（4）矢量的矢积（叉积）;（5）矢量的混合运算; 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。;1. 直角坐标系 ;2. 圆柱坐标系;3. 球坐标系;4. 坐标单位矢量之间的关系 ;1.3 标量场的梯度;标量场的等值面 ;2. 方向导数;梯度的表达式：;标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。 标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。; 解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为;表征其方向的单位矢量 ;而该点的梯度值为 ;1.4 矢量场的通量与散度 ;2. 矢量场的通量 ;通过闭合曲面有净的矢量线穿出;3. 矢量场的散度;圆柱坐标系;直角坐标系下散度表达式的推导 ;根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为;4. 散度定理;1.5 矢量场的环流和旋度 ; 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即;如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。; 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入 矢量场的旋度。 ;而 ;于是 ;旋度的计算公式:;旋度的有关公式：;3. 斯托克斯定理;4. 散度和旋度的区别 ;1. 矢量场的源;2. 矢量场按源的分类;（2）无散场 ;（3）无旋、无散场;1.7 拉普拉斯运算与格林定理 ; 矢量拉普拉斯运算;2. 格林定理 ;基于上式还可获得下列两式：;亥姆霍兹定理:;有界区域;已知