重庆大学《数值分析》课件-第7章.pdf

第七章数据拟合与函数逼近

7.1拟合与逼近

本章继续讨论用简单函数近似代替较复杂函数的问题.上章

提到的插值就是近似代替的方法之一,插值的近似标准是在

插值点处误差为零.但在实际应用中,有时不要求具体某些

点误差为零,而要求考虑整体的误差限制,这就引出了拟合

和逼近的概念.

7.1.1数据拟合

对离散型函数(即数表形式的函数)考虑数据较多的情况.若

将每个点都当作插值节点,则插值函数是一个次数很高的多

项式,比较复杂.而且由于龙格振荡现象,这个高次的插值多

项式可能并不接近原函数.同时由于数表中的点一般是由观

察测量所得,往往带有随机误差,要求近似函数过所有的点

既不现实也不必要.

1结束

如果不是要求近似函数过所有的数据点,而是要求它反映原函

数整体的变化趋势,可得到更简单更适用的近似函数,这样的方法

称为数据拟合.数据拟合最常用的近似标准是最小二乘法则：设

f(x)为原函数,(x)为近似函数,(x,f(x))(i0,1,…,n)为数据点,要

ii

求选择(x)使

2

n

f(xi)(xi)

i0

为最小.

当(x)选择为多项式时,称为多项式拟合.最小二乘拟合,特别是

多项式拟合,是最流行的数据处理方法之一.它常用于把实验数

据(离散的数据)归纳总结为经验公式(连续的函数),以利于进一

步的推演分析或应用.

2结束

7.2超定方程组的最小二乘解

设Axb中A(a),b是m维已知向量,x是n维解向量.当mn时,即

ijm×n

方程组中方程的个数多于未知量个数时,称此方程组为超定方程组

或矛盾方程组.一般说,超定方程组无解.但有时需

*

要寻找一个“最近似”的解.记rb-Ax,定义使‖r‖为最小的解x为

2

Axb的最小二乘解.关于超定方程组的最小二乘解有如下定理：

*T*T

定理7.1x为Axb的最小二乘解的充要条件为AAxAb.

证明(略)

以上定理说明求解超定方程组Axb的最小二乘解可转化为求

T*TT

解它对应的正规方程组AAxAb.AA是对称正定的系数阵,此

方程组可用平方根法或SOR方法求解.

3结束

7.3多项式拟合

仍假设有已知数据组(x,y)(i0,1,2,…,m).现求作一个不超过

ii

n(nm)次多项式n

Pn(x)