高一数学解三角形知识点总结及习题练习.doc

解三角形 一、基础知识梳理 1正弦定理：== =2R（R为△ABC外接圆半径），了解正弦定理以下变形： 最常用三角形面积公式： 2正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角； （唯一解） 2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（解可能不唯一） 了解：已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况: 3．余弦定理 ： 4．余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一） （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（解唯一）： （3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角（解 可能不唯一） 2[课前热身] 1．(教材习题改编)已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于(　　) A．135°　 　　B．90°　 　　C．45°　 　　D．30° 3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积是(　　) A. B. C. D. (2010年高考广东卷)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinA＝________. 5．在△ABC中，如果A＝60°，c＝，a＝，则△ABC的形状是________． (1)(2010年高考山东卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________． (2)满足A＝45°，a＝2，c＝的ABC的个数为________． 在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝. (1)若ABC的面积等于，求a，b的值； (2)若sinB＝2sinA，求ABC的面积． 三 三角形形状的判定 ． 解三角形常见题型及求解方法 (1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及＝＝，可求出角C，再求出b，c. (2)已知两边b，c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA, 求出a，再由正弦定理，求出角B，C. (3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C. (4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理＝求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，求出C，再由＝，求出c，而通过＝求B时，可能出现一解，两解或无解的情况，其判断方法如下表： 1．用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解． 2．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；三角形的内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sin＝cos，sin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)等． 3．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”． (本题满分12分)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)在△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，求AD的长． 【解】　由cos∠ADC＝0知∠B， 由已知得cosB＝，sin∠ADC＝，4分 从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B) ＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB ＝×－×＝.9分 由正弦定理得＝， 所以AD＝＝＝25.12分 【名师点评】　本题主要考查正弦定理、三角恒等变换在解三角形中的应用，同时，对逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查．本题从所处位置及解答过程来看，难度在中档以下，只要能分析清各量的关系，此题一般不失分．出错的原因主要是计算问题． 1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝(　　) A．－　　　　　　　　　B. C．－ D. 2．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且S△ABC＝，那么角C＝________. 3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2b－c)·cosA－acosC＝0. (1)求角A的大小； (2)若a＝，S△ABC＝，试判断△ABC的形状，并说明理由． 解：(1)法一：∵(2b－c)cosA－acosC＝0， 由正弦定理得， (2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0， ∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0， 即sinB(2cosA－1)＝0. ∵0Bπ， ∴sinB≠0，∴cosA＝. ∵0Aπ，∴A＝. 法二：∵(2b－c)cosA－acosC＝0， 由余弦定理得， (2b－c)·－a·＝0， 整理得b2＋c2－a2＝bc， ∴cosA＝＝. ∵0Aπ，∴A＝. (2)∵S△ABC＝bcsinA＝， 即bcsin＝， ∴bc＝3，① ∵a2＝b2＋c2－2bccosA， ∴b2＋c2＝6