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第五章 抽样分布与参数估计 第一节 频率、概率与概率分布 第二节 抽样分布 第三节 总体参数估计 第一节 频率、概率与概率分布 一、随机事件与概率 （一）随机试验与事件 随机现象的特点是：在条件不变的情况下，一系列的试验或观测会得到不同的结果，并且在试验或观测前不能预见何种结果将出现。对随机现象的试验或观测称为随机试验，它必须满足以下的性质： （1）每次试验的可能结果不是唯一的； （2）每次试验之前不能确定何种结果会出现； （3）试验可在相同条件下重复进行。 在随机试验中，可能出现也可能不出现的结果，称之为随机事件，简称事件。试验的结果可能是一个简单事件，也可能是一个复杂事件。简单事件就是不可以再分解的事件，又称为基本事件。复杂事件是由简单事件组合而成的事件。基本事件还可称为样本点，设试验有n个基本事件，分别记为 (i=1,2,…，n)。集合Ω={ω1 ,ω2 , … ,ωn}称为样本空间，Ω中的元素就是样本点。 例：投掷一粒均匀的六面体骰子，出现的点数有可能是1、2、3、4、5、6共六种。这六种结果是基本结果，不可以再分解成更简单的结果了，所以Ω={1，2，3，4，5，6}为该试验的样本空间。“出现点数是奇数”这一事件就不是简单事件，它是由基本事件{1}，{3}和{5}组合而成的。我们通常用大写字母A，B，C，…来表示随机事件，例如，设A表示“出现点数是奇数”，则A={1，3，5}；设B表示“出现点数是偶数”，则B={2，4，6}。 （二）概率 1. 概率的定义 概率就是指随机事件发生的可能性，或称为机率，是对随机事件发生可能性的度量。 进行n次重复试验，随机事件A发生的次数是m次，发生的频率是m/n，当试验的次数n很大时，如果频率在某一数值p附近摆动，而且随着试验次数n的不断增加，频率的摆动幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率，记为：P(A)=p。在古典概型场合, 即基本事件发生的概率都一样的场合: 例：设一个袋子中装有白球2个，黑球3个。(1) 从中随机摸出1只球，问刚好是白球的概率有多大？ (2) 从中随机摸出2只球，一问2只球都是白球的概率有多大? 二问2只球一白一黑的概率有多大? 三问2只球都是黑球的概率有多大? 解：(1) 由于摸出的任何1只球都形成一个基本事件，所以样本点总数为n=5。用A表示摸出的是白球事件，则A由两个基本点组成，即A={白球，白球}，有利场合数m=2。因此，刚好摸出白球的概率为P(A)=m/n=2/5=0.4 (2) 由于摸出2只球才成一个基本事件，所以样本点总数为 故 P(A)=P(2只球都是白球)=1/ =1/10 P(B)=P(2只球一白一黑)=2×3/10=6/10 P(C)=P(2只球都是黑球)=3/10 NOTE: P(A+B+C)=1 2. 概率的基本性质 性质1 1≥P(A)≥0。 性质2 P(Ω)=1。 性质3 若事件A与事件B互不相容，即AB=Ф，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。 推论1 不可能事件的概率为0，即：P(Ф)=0。 推论2 P( )=1-P(A), 表示A的对立事件，即它们二者必有一事件发生但又不能同时发生。 例：袋中装有4只黑球和1只白球，每次从袋中随机地摸出1只球，并换入1只黑球。连续进行，问第三次摸到黑球的概率是多少？ 解: 记A为“第三次摸到黑球”，则 为“第三次摸到白球”。先计算P( )。 由于袋中只有1只白球，如果某一次摸到了白球，换入了黑球，则袋中只有黑球了。所以相当于第一、第二次都是摸到黑球，第三次摸到白球。注意这是一种有放回的摸球，样本点总数为53，有利场合数是42×1。故： P( )= ， 所以 3. 事件的独立性 定义 对事件A与B，若p(AB)=p(B)p(A)，则称它们是统计独立的，简称相互独立。 例：已知袋中有6只红球, 4只白球。从袋中有放回地取两次球,每次都取1球。设 表示第i次取到红球。那么， 因此， ， 也就是说，B1,B2相互独立。从题目条件看，这一结论是显然的。 二、随机变量 随机变量X是定义在样本空间 Ω={ω1,ω2,…,ωn}上的一个函数，这个函数的取值随试验的结果不同而变化。这个函数还要求满足条件：对任意的实数x，Xx是随机事件。如果