2008高考数学总复习 等差数列与等比数列的性质及其应用.doc

2008高考数学总复习 等差数列与等比数列的性质及其应用 高考要求 (1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题 1一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 2等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数 3等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn= 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式 4等差数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 5等差中项公式：A= （有唯一的值） 6等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0) 7等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时，Sn= Sn= 8等比中项公式：G= （ab0，有两个值） 9等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列 10等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 11等比数列{an}中，若m+n=p+q，则 12等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列（当m为偶数且公比为-1的情况除外） 13两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列 14两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{anbn}、、仍为等比数列 15等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 16等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列 17三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 18三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (因为其公比为0,对于公比为负的情况不能包括) 19{an}为等差数列，则 (c0)是等比数列 20{bn}（bn0）是等比数列，则{logcbn} (c0且c1) 是等差数列 题型讲解 例1 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q 解: 设等差数列的通项an = a1+(n-1)d (d≠0) 根据题意得 a32 = a2a6 即(a1+2d)2 = (a1+d)(a1+5d), 解得 所以 例2 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足:an、bn、an+1成等差数列,bn、an+1、bn+1成等比数列,且a1 = 1, b1 = 2 , a2 = 3 ,求通项an,bn 解: 依题意得: 2bn+1 = an+1 + an+2 ① a2n+1 = bnbn+1 ② ∵ an、bn为正数, 由②得 , 代入①并同除以得: , ∴ 为等差数列 ∵ b1 = 2 , a2 = 3 , , ∴ , ∴当n≥2时,, 又a1 = 1,当n = 1时成立, ∴ 例3在等比数列{an}的前n项中，a1最小，且a1+an=66，a2 an-1=128，前n项和Sn=126, 求n和公比q 解：∵{an}为等比数列 ∴a1·an=a2·an-1 由a1·an=128 ， a1+an=66 且 a1最小 得a1=2 ，an=64 解得 解得n=6, ∴n=6,q=2 例4 已知：正项等比数列{an}满足条件： ① ； ② ； 求的通项公式 解：易知 ，， 由已知得 ①， ② ①÷②得 ，即 ，∴ ①×②得 ，即 ， 即，∴，即 ∴ 例5在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am, am+2, am+1成等差数列 （１）写出这个命题的逆命题； （２）判断逆命题是否为真，并给出证明 解：（１）逆命题：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am, am+2, am+1成等差数列，则 Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列 （２）设{an}的首项为a1，公比为q 由已知得2am+2= am + am+1 ∴2a1qm+1=a1+a1qm ∵a1≠0