一元二次方程的解法根的判别式.ppt

初中数学八年级下册 （苏科版） 4.2一元二次方程的解法根的判别式 知识回顾 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式， 式进而确定a、b、c的值，再求出b2-4ac的值， 当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解； 当b2-4ac＜0时，方程无实数 解(根) 知识回顾 3.用公式法解下列方程： ⑴ x2＋x－1 = 0 ⑵ x2－2 ⑶ 2x2－2x＋1 = 0 x＋3 = 0 观察上面解一元二次方程的过程，一元二次 方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、 一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关 系不解方程得出方程的解的情况呢？ 尝试： 不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ ⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3 （3）没有实数根 答案：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； 你能得出什么结论？ 可以发现b2－4ac的符号决定着方程的解。 概括总结 ，x2=2 由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定 当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根 当b2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根 当b2－4ac ＜ 0时，方程没有实数根 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）的根的判别式。 若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到 判别式的值的符号呢？ 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0 当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2－4ac = 0 当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜ 0 概念巩固 1.方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ， 所以方程的根的情况是 . 2.下列方程中，没有实数根的方程是（ ） A.x2=9 B.4x2=3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0 -8 方程无实数根 D 3.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式 子是（ ） A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac＜0 C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0 D 典型例题 例1不解方程，判断下列方程根的情况： （1）-x2+ x-6=0 （2）x2+4x=2 （3）4x2+1=-3x （4）x2-2mx+4（m-1）=0 解（1）∵b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0 ∴该方程有两个相等的实数根 （2） 移项，得x2+4x-2=0 ∵b2-4ac=16-4×1×（-2）=16-（-8） =16+8=24＞0 ∴该方程有两个不相等的实数根 典型例题 例1不解方程，判断下列方程根的情况： （3）4x2+1=-3x （4）x2-2mx+4（m-1）=0 解（3）移项，得4x2+3x+1=0 ∵b2-4ac=9-4×4×1=9-16=-7＜0 ∴该方程没有实数根 （4）∵b2-4ac=（2m）2-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）2≥0 ∴该方程有两个实数根 典型例题 例2 ：m为任意实数，试说明关于x的方程 x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等 的实数根。 解： ∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0 ∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0 ∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根 典型例题 例3：m为何值时，关于x的一元二次方程 2x2-（4m+1）x+2m2-1=0： （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1 ∴b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9 （1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞