第一章 误差-2012.ppt

例：利用四位数学用表求 的近似值。 由查表得 于是 故近似值 有一位有效数字。 若改用公式 计算 查表得 于是 故近似值 有四位有效数字。 3.要防止大数“吃掉”小数 在数值运算中参加运算的数有时数量级相差很大， 例 其中 . 而计算机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的现象，影响计算结果的可靠性。 在五位十进制计算机上，计算 把运算的数写成规格化形式 结果显然不可靠，这是由于运算中出现了大数 52492 “吃 掉”小数 造成的. 由于计算机在进行计算时先要对阶， 因此 若取 ， 对阶时 ，在五位的计算机中表示为 机器 0 ， 例 求二次方程的根 利用因式分解容易求出，此方程的两个根为 但若用求根公式，则得 若用8位小数的计算机运算，由于对阶，有 这样求得 结果显然是错的！ 改变成 则有 此结果是准确的！ 为避免这种情形出现，也可采用改变计算公式的方法。 如将式 根据误差传播公式 可得两近似值之差y=x1/x2的绝对误差公式为 所以有 因为x2相对很小 所以 很大 4.避免绝对值太小的数作除数 例：当分母为两个相近数相减时,会丧失有效数字 这里分子的误差被扩大104倍。 例： 分母变化0.0001 5.要简化计算步骤，减少运算次数，提高效率 x255=xxx…xx 254次乘法 x255=xx2x4x8x16x32x64x128 14次乘法 例 例 计算多项式的值 p(x)=anxn? an-1xn-1 ? … ? a1x ? a0 n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2次乘法 n次加法 如果将前n项提出x，则有 p(x)=（anxn-1? an-1xn-2 ? … ? a1 ）x ? a0 =((anxn-2?an-1xn-3?…? a2)x?a1）x ? a0 =((anx ? an-1)x?…?a2)x ? a1)x ? a0 写成递推公式 n次乘法 n次加法 秦九韶算法 2.避免两个相近的数相减 4.避免大数“吃”小数的现象 3.避免绝对值太小的数作除数 5.要简化计算步骤，减少运算次数，提高效率 1.选用数值稳定性好的算法 数值运算中应注意的原则： * 数值计算方法 主 讲： 毛洁 Email: maojie@ Tel: 教材： 《数值计算方法》 吕同富，康兆敏，方秀男 编著 清华大学出版社 参考书目： 1、《数值分析原理》，封建湖等, 科学出版社 2、《数值计算方法》，李有法等，高等教育出版社 3、《数值计算方法》，合肥工业大学出版社 概 述 数值计算方法，又称计算方法或数值分析，研究怎样利用工具（算盘、算尺、计算器、计算机等），来求出数学问题数值解答的学科。 电子计算机 加、减、乘、除 逻辑运算 内部函数 ？Question 解题方案 算 法 课程研究内容： ⑴ 构造计算机能用的算法——面向计算机； ⑵ 怎样使计算既快又省——高效率； ⑶ 计算结果是否可靠——有可靠的理论依据。 数学软件： C / C++, Fortran, Matlab, Mathematica，Maple, MathCAD…… 第一章 误 差 先进的计算工具（计算器、计算机等）计算所得结果是否一定可靠？ 例：计算 y=arctan 5 430 – arctan 5 429 计算器（八位）：y=1.570 612 2-1.570 612 1=0.000 000 1 准确值： y=3.392 191 128 531……×10-8 计算结果不可靠！ 例 ：计算 解： I80 错误！ §1 误差的来源 用数学方法解决实际问题的过程： 结果 实际问题 数学模型 数值计算方法 模型误差 参量误差 观测误差 方法误差 截断误差 舍入误差 1.模型误差： 数学模型与实际问题之间的误差。 2.观测误差： 观测产生的误差，如温度、时间、长度等。 引起误差的因素： 3.截断误差： 数学模型的精确解与由数值方法求出的近似解之间的误差。 例如： 4.舍入误差: 计算