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第七章 椭圆曲线密码学;Q=∠BAP→? /2 AP → L2 可设想L1上有一点P∞，它为L2和L1的交点，称之为无穷远点。 直线L1上的无穷远点只能有一个。 （因为过A点只能有一条平行于L1的直线L2，而两直线的交点只能有一个。） 结论： 1*. 平面上一组相互平行的直线，有公共的无穷远点。 （为与无穷远点相区别，把原来平面上的点叫做平常点） 2* .平面上任何相交的两直线L1,L2有不同的无穷远点。 原因：若否，则L1和L2有公共的无穷远点P∞，则过两相异点A和P ∞有相异两直线，与公理相矛盾。 ;3*. 全体无穷远点构成一条无穷远直线。 注：欧式平面添加上无穷远点和无穷远直线，自然构成射影平面。 (2) 齐次坐标 解析几何中引入坐标系，用代数的方法研究欧氏空 间。这样的坐标法也可推广至摄影平面上，建立平面摄影 坐标系。 平面上两相异直线L1,L2，其方程分别为： L1: a1x+b1y+c1=0 L2: a2x+b2y+c2=0 ;其中a1,b1不同时为0；a2,b2也不同时为0。 设 D= a1 b1 Dx= b1 c1 Dy= c1 a1 a2 b2 b2 c2 c2 a2 若D≠0，则两直线L1,L2相交于一平常点P(x,y)，其坐标为x=Dx/D，y=Dy/D. 这组解可表为：x/Dx=y/Dy=1/D (约定：分母Dx，Dy有为0时，对应的分子也要为0） 上述表示可抽象为（Dx，Dy，D). 若 D=0，则L1∥L2，此时L1和L2交于一个无穷远点P∞。 这个点P∞可用过原点O且平行于L2的一条直线L来指出他 的方向，而这条直线L的方程就是：a2x+b2y=0. ;为把平常点和无穷远点的坐标统一起来，把点的坐标用 （X，Y，Z)表示，X，Y，Z不能同时为0，且对平常点 （x，y)来说，有Z≠0，x=X/Z，y=Y/Z，于是有： i.e. X / Dx = Y / Dy = Z / D， 有更好的坐标抽象，X,Y,Z),这样对于无穷远点则有Z=0， 也成立。 注： a).若实数p≠0，则(pX,pY,pZ)与（X,Y,Z)表示同一个点。实质上用（X:Y:Z)表示。3个分量中，只有两个是独立的，具有这种特征的坐标就叫齐次坐标。 ;b).设有欧氏直线L，它在平面直角坐标系Oxy上的方程为： ax+by+c=0 则L上任一平常点(x,y)的齐次坐标为(X,Y,Z)，Z≠0，代入得： aX+bY+cZ=0 给L添加的无穷远点的坐标(X,Y,Z)应满足aX+bY=0，Z=0;平面上无穷远直线方程自然为：Z=0 !! (3)任意域上的椭圆曲线 K为域，K上的摄影平面P2(K)是一些等价类的集合{(X:Y:Z)}。考虑下面的Weierstrass方程(次数为3的齐次方程)： Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2z+a4XZ2+a6Z3 (其中系数ai∈K，或ai∈K为K的代数闭域） ;Weierstrass方程被称为光滑的或非奇异的是指对所有适合 以下方程的射影点P=(X:Y:Z) ∈ P2(K)来说， F(X,Y,Z)=Y2Z+a1XYZ+a3YZ2-X3-a2X2Z-a4XZ2-a6Z3=0 在P点的三个偏导数 之中至少有一个不为 0若否称这个方程为奇异的。 椭圆曲线E的定义： 椭圆曲线E是一个光滑的Weierstrass方程在P2(K)中的 全部解集合。 Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3 注： a) 在椭圆曲线E上恰有一个点，称之为无穷远点。即(0:1:0)用θ表示。;b) 可用非齐次坐标的形式来表示椭圆曲线的Weierstrass方程: 设 x=X/Z，y=Y/Z，于是原方程转化为： y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 (1) 此时，椭圆曲线E就是方程（1)在射影平面P2(K)上的全部平常点解，外加一个无穷