高考立体几何训练题三.pdf

立体几何 1. 已知四棱锥P—ABCD ，其三视图和直视图如图． （1）求该四棱锥体积； （2 ）证明：平面PAE ⊥平面PDE ． 解：（1）由三视图知底面ABCD 为矩形，AB=2 ，BC=4 ，顶点P 在面ABCD 内的射影为BC 为中点E ，棱 锥的高为2 ，………………2 分 1 1 16 则体积 2 4 2 V S PE ………………6 分 P ABCD ABCD 3 3 3 （2 ）因为PE ⊥平面ABCD ，AE 平面ABCD ， 所以PE ⊥AE ，在矩形ABCD 中取AD 的中点F ， 1 由AB=2 ，CE=BE=2，得EF= AD ， 2 所以AE ⊥ED ，又ED I AE=E ，所以AE ⊥平面PED ， 因为AE 平面PAE ， 所以，平面PAE ⊥平面PDE ，……………………12 分 2. 如图（1）在直梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD=DC=PD=2 ，E，F ，G 分别是线段 PC ，PD ，BC 的中点，现将△PDC 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD （如图2 ）. （1）求证AP ∥平面EFG ； （2 ）在线段PB 上确定一点Q ， 使PC ⊥平面ADQ ，试给出证明. 解：（1）取AD 的中点H ，连HG，HF ，∵E 、F 、 G 分别是线段PC 、PD 、BC 的中点， ∴EF ∥DC ，HG∥DC ， ∴HG ∥EF ，E 、F 、H 、G 四点共面. ∴HF 面EFHG. ∵HF ∥AP ，AP 面EFGH ， ∴AP ∥面EFGH ，即AD ∥平面EFG . （2 ）法1，当点Q 是线段PB 中点时，有PC ⊥平面ADQ . 证明如下： 取PC 中点S ，连QS、DS ，则有QS ∥BC ， 又BC ∥AD ，∴QS ∥AD ， ∴A 、D 、S 、Q 四点共面. ∵PD=DC ，S 为PC 中点， ∴PC ⊥DS . 又∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD， ∴AD ⊥PC ，又AD ∩DS=D ， ∴PC ⊥平面ADSQ ，即PC ⊥平面ADQ .…………………………12 分 A 3. 已知△BCD 中，∠BCD=90 °，BC=CD=1 ，AB ⊥平面BCD ， AE AF ∠ADB=60 °，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且