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数字信号处理习题 林逸榕 电气与自动化工程学院 第二章 数据采集技术基础 2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs=6π，采样后经理想低通滤波器Ha(jΩ)还原，其中 现有两个输入，x1(t)=cos2πt，x2(t)=cos5πt。试问输出信号y1(t)，y2(t)有无失真？为什么？ 2.2 设模拟信号x(t)=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt，求： 该信号的最小采样频率； 若采样频率fs=5000Hz，其采样后的输出信号； 第三章 傅里叶分析 3.1 [习题3.2]设序列x(n)=δ(n-m)，求其频谱X(ejω)，并讨论其幅频和相频响应 3.2 设x(n)的傅里叶变换为X(ejω)，试利用X(ejω)表示下列序列的傅里叶变换： 3.3 设X(ejω)是如图所示的信号x(n)的傅里叶变换，不必求出X(ejω)，试完成下列计算： 3.4 如图所示，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。 3.5 设， 令，，试求与的周期卷积。 3.6 已知x(n)如图所示，为{1，1，3，2}，试画出序列x((-n))5，x((-n))6 R6(n)，x((n))3 R3(n)，x((n))6， x((n-3))5R5(n) 和x((n))7 R7(n)的略图。 3.7 试求下列有限长序列的N点离散傅里叶变换（闭合形式表达式）： 3.8 试画出图示的两个有限长序列的六点循环卷积。 3.9 如图所示的5点序列x(n)，试画出 x(n)*x(n) x(n)x(n) x(n)x(n) 3.10 已知两个有限长序列为 试作图表示x(n)，y(n)以及f(n) =x(n) y(n)。 3.11 [习题3.10]已知x(n)是N点有限长序列，且X(k) = DFT[x(n)]。现将它补零扩展成长度为rN点的有限长序列y(n)，即 试求rN点DFT[y(n)]与X(k)的关系。 3.12 [习题3.12]频谱分析的模拟信号以8kHz被采样，计算了512个采样点的DFT，试确定频谱采样之间的间隔，并证明你的回答。 3.13 [习题3.20]设有一个频谱分析用的信号处理器，采样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力≤10Hz，如果采用的采样时间间隔为0.1ms，试确定： 最小记录长度； 所允许处理信号的最高频率； 在一个记录中的最小点数。 3.14 如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘5μs，每次复加0.5μs，用它来计算512点的DFT[x(n)]，问直接计算需要多少时间，用FFT运算需要多少时间？ 3.15 已知X(k)，Y(k)是两个N点实序列x(n)，y(n)的DFT值，今需要从X(k)，Y(k)求x(n)，y(n)的值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。 3.16 [习题3.22, 3.23]N=16时，画出基-2按时间抽取法（DIT）及按频率抽取法（DIF）的FFT流图（时间抽取采用输入倒位序，输出自然数顺序，频率抽取采用输入自然顺序，输出倒位序）。 3.17 [课堂思考题]若是因果稳定序列，求证： 3.18 [课堂思考题]在N=16时按时间抽取的基-2FFT算法中，若输入序列x(n)采用倒位序，输出序列X(k)采用自然数顺序，试写出输入序列x(n)的排列顺序，并简述理由。 第五章 时域分析 5.1 随机相位正弦波 式中，x0,ω均为常数，φ在0~2π内随机取值，试求其自相关函数并作图。 5.2 两个随机相位正弦波 式中，A0, B0,ω, φ均为常数，θ在0~2π内的取值概率相同，即满足 试求其互相关函数并作图。 第六章 数字滤波器设计 6.1 已知模拟滤波器的模方函数 求模拟滤波器的传递函数。 6.2 试设计一个巴特沃思（BW）低通模拟滤波器，使滤波器的幅度响应在通带截止频率105rad/s处的衰减不大于3 dB，在阻带截止频率4×105 rad/s处的衰减不小于35 dB。 6.3 试导出二阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设Ωc =3 rad/s。 6.4 试导出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设Ωc =2 rad/s。 6.5 设模拟滤波器的系统函数为 试利用冲激响应不变法，设计IIR数字低通滤波器。 6.6 设有一模拟滤波器 采样周期T=2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数H(z)。 6.7 用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，采样频率fs = 1.2kHz，截止频率fc = 400Hz。 6.8 请