江苏省普通高校“专转本”选拔考试高等数学真题.doc

江苏省2012年普通高校“专转本”选拔考试 高等数学 试题卷（二年级） 注意事项： 1、考生务必将密封线内的各项目及第2页右下角的座位号填写清楚． 2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效． 3、本试卷共8页，五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟． 选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、极限 ( B ) A. B. C. D. 2、设,则函数的第一类间断点的个数为( C ) A. B. C. D. 3、设，则函数 ( C ) A.只有一个最大值 B. 只有一个极小值 C.既有极大值又有极小值 D. 没有极值 4、设在点处的全微分为 ( A ) A. B. C. D. 5、二次积分在极坐标系下可化为( B ) A. B. C. D. 6、下列级数中条件收敛的是( D ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 7要使函数在点处连续，则需补充定义_________． 8、设函数，则____________． 9、设，则函数的微分____ _______． 10、设向量互相垂直，且，则____ _______． 11、设反常积分，则常数_____ _____． 12、幂级数的收敛域为____________． 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 13、求极限． 原式= 14、设函数由参数方程所确定，求． 原式= 15、求不定积分． 原式= 16、计算定积分． 原式=令，则原式= 17、已知平面通过与轴，求通过且与平面平行，又与轴垂直的直线方程． 解：平面的法向量，直线方向向量为, 直线方程： 18、设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数具有二阶连续导数，求． 解： 19、已知函数的一个原函数为，求微分方程的通解． 解：，先求的通解，特征方程：， ，齐次方程的通解为.令特解为， 代入原方程得：，有待定系数法得： ，解得，所以通解为 20、计算二重积分，其中D是由曲线，直线及轴所围成的平面闭区域． 原式=. 四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 21、在抛物线上求一点，使该抛物线与其在点处的切线及轴所围成的平面图形的面积为，并求该平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 解：设点，则，切线： 即，由题意，得， 22、已知定义在上的可导函数满足方程，试求： （1）函数的表达式； （2）函数的单调区间与极值； （3）曲线的凹凸区间与拐点． 解：（1）已知两边同时对求导得： 即：，则由题意得：，，则 （2）列表讨论得在单调递增，在单调递减。极大值，极小值 （3） 列表讨论得在凹，在凸。拐点 五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23、证明：当时，． 解：令, ，在，单调递增， ，所以在，单调递增，则有，得证。 24、设，其中函数在上连续，且证明：函数在处可导，且． 解：因为，即所以有 又因为在上连续，所以，则