实验三(差值与数值积分)..docx

一、 实验目的1. 掌握用Matlab计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析；2. 掌握用Matlab及梯形公式、辛普森公式计算数值积分；3. 通过实例学习用插值和数值积分解决实际问题。二、 实验内容准备工作：编制计算拉格朗日插值的M文件。对于数值给出的函数，编制用辛普森公式计算定积分的程序，命名为simp.m文件。首先编写计算拉格朗日差值的M文件如下：function y=lagr(x0, y0, x)n=length(x0); m=length(x);for i = 1:m; z=x(i); s=0; for k = 1:n; p=1; for j = 1:n; if j ~= k p=p*(z-x0(j)/x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;end然后编写用辛普森公式计算数值函数的定积分的M文件如下：function area=simp(y,h)k=length(y);y1=[y(2:2:k-1)];s1=sum(y1);y2=[y(3:2:k-1)];s2=sum(y2);area=(y(1)+y(k)+4*s1+2*s2)*h/3end项目一：x 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 y1 0 1.8 2.2 2.7 3.0 3.1 2.9 2.5 2.0 1.6 y2 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 下表给出的x、y数据位于机翼端面的轮廓线上，Y1和Y2分别对应轮廓的上下线。假设需要得到x坐标每改变0.1时的y坐标，试完成加工所需数据，画出曲线，求加工端面的面积。问题分析：我们从题目中可以啊看到，题目中只给出了机翼端面的轮廓线上的少量的点，如果只是根据这些点来画出轮廓线，那么画出来的轮廓线一定是不光滑的。而我们知道，在工程中，尽量要求加工物品的轮廓线光滑，符合实际需求，这就要求我们需要使用插值的方法对数据进行扩充。 而根据三种插值方法：拉格朗日插值，分段线性插值和三次样条插值的特性，由于在题目所给的要求中，我们并不需要对误差进行定量的估计，所以我们选用光滑性最好的三次样条插值，同时使用拉格朗日插值对所得结果进行比较。 同时，对于机翼端面的面积估计，我们可以采用梯形公式和辛普森公式进行求和，对所得结果进行比较。解决方案：现编写主程序如下： x=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];y1=[0 1.8 2.2 2.7 3.0 3.1 2.9 2.5 2.0 1.6];y2=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];x1=0:0.1:15;u1=lagr(x,y1,x1);u2=lagr(x,y2,x1);v1=spline(x,y1,x1);v2=spline(x,y2,x1);plot(x,y1,k,x,y2,k) title(未插值得到的轮廓线)plot(x1,u1,r,x1,u2,r) title(拉格朗日插值轮廓曲线)plot(x1,v1,g,x1,v2, g) title(三次样条插值轮廓曲线)plot(x,y1,k,x,y2,k,x1,u1,r,x1,u2,r)title(拉格朗日插值与未插值轮廓曲线比较)plot(x,y1,k,x,y2,k,x1,v1,g,x1,v2,g)title(三次样条插值与未插值轮廓曲线比较)plot(x,y1,k,x,y2,k,x1,v1,g,x1,v2,g,x1,u1,r,x1,u2,r)title(三种轮廓曲线比较)得到结果如图：从图形结果上看，未插值时由于数据点间隔较大曲线非常不光滑，利用拉格朗日插值进行运算后，得到的曲线在x值较小时出现了很大的偏差，这是由于拉格朗日插值不收敛的缘故，这在实际中是不可取的。而利用三次样条插值进行运算时，则与原轮廓线吻合的很好，且各处光滑，满足实际加工需要，三次样条插值的优势在这时候就体现了出来。故现利用梯形法和辛普森法计算三次样条插值所得到轮廓的面积。继续编写程序如下：area1=trapz(x1,v1-v2)area2=simp(v1-v2,0.1)得到结果：area1 = 11.3444area2 = 11.3460由于梯形公式是2阶收敛的，而辛普森公式的是4阶收敛的；而且由于梯形公式的实质是分段线性化再求精确积分，而辛普森公式则是分段二次化再求精确积分，因此在本题中（飞机端面边缘线为光滑曲线）由辛普森公式计算得到的结果误差更小。从matlab中根据三次样条插值结果导出所需加工数据见下表：XV1V20.00.00000.00000.10.10890.04990.20.21340.09900.30.31370.147