2010年第三届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小学组笔试二）.pdf

2010年第三届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试

卷（小学组笔试二）

一、填空题（每题20分，共60分）

1．（20分）如图，∠ABE＝∠DCF＝90°，AB＝3，DC＝5，BC＝6，BE＝EF＝FC，AF

交DE于G．则三角形DFG与三角形AGE面积的和为．

2．（20分）在正八边形的8个顶点和中心O处放上9个不同的自然数，使得位于每对平行

边与中心O上的5个数之和都等于位于顶点的8个数之和．那么位于中心O处的数最

小是．

3．（20分）如图，对A，B，C，D，E，F，G七个区域分别用红、黄、绿、蓝、白五种颜

色中的某一种来着色，规定相邻的区域着不同的颜色．那么有种不同的着色方

法．

二、解答题（每题20分，共60分）

4．（20分）对于平面上垂直的两条直线a和b，称（a，b）为一个“垂直对”，而a和b

都是属于这个“垂直对”的直线．那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂

直对”？

5．（20分）方格网上有三个地点A，B，C，每个小方格的边长为100米．如果沿着网格线

修路把三个地点连起来，问：修的总路长最短为多少米？

6．（20分）自然数a，b满足23a﹣13b＝1，求a+b的最小值．

2010年第三届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀

请赛试卷（小学组笔试二）

参考答案与试题解析

一、填空题（每题20分，共60分）

1．（20分）如图，∠ABE＝∠DCF＝90°，AB＝3，DC＝5，BC＝6，BE＝EF＝FC，AF

交DE于G．则三角形DFG与三角形AGE面积的和为．

【分析】过E点作EH⊥BC交AF于H，过F点作FI⊥BC交DE于I，根据等高的三角

形面积比等于底之比求解即可．

【解答】解：过E点作EH⊥BC交AF于H，过F点作FI⊥BC交DE于I，

因为∠ABE＝∠DCF＝90°，AB＝3，DC＝5，BC＝6，BE＝EF＝FC，

所以EH＝1.5，FI＝2.5，三角形EFH面积＝三角形AEH面积＝2×3÷2÷2＝1.5，

三角形EFI面积＝三角形FID面积＝2×5÷2÷2＝2.5．

所以HG：GF＝1.5：2.5，IG：GE＝2.5：1.5，

所以三角形EGH面积＝1.5×1.5÷（1.5+2.5）＝，

三角形GFI面积＝2.5×2.5÷（1.5+2.5）＝．

故三角形DFG与三角形AGE面积的和＝三角形AEH面积+三角形EGH面积+三角形

FID面积+三角形GFI面积，

＝1.5+++2.5＝．

故答案为：．

2．（20分）在正八边形的8个顶点和中心O处放上9个不同的自然数，使得位于每对平行

边与中心O上的5个数之和都等于位于顶点的8个数之和．那么位于中心O处的数最

小是14．

【分析】设这9个数分别为A，B，C，D，E，F，G，H，O．然后根据题意列出式子，

求出O的最小值．

【解答】解：由题意可知：A+B+E+F+O＝B+C+F+G+O＝C+D+G+H+O＝D+E+H+A+O

＝A+B+C+D+E+F+G+H，

整理得：A+E＝C+G，B+F＝D+H，

所以A+B+C+D+E+F+G+H＝2O，

即当A，B，C，D，E，F，G，H为0，1，2，3，4，5，6，7时，O最小，

即O＝•（0+1+2+3+4+5+6+7）＝14．

故答案为：14．

3．（20分）如图，对A，B，C，D，E，F，G七个区域分别用红、黄、绿、蓝、白五种颜

色中的某一种来着色，规定相